ক) $\lim_{x \to \infty} 7^x \sin \frac{a}{7^x}$ এর মান নির্ণয় কর।

ধরি, $L = \lim_{x \to \infty} 7^x \sin \frac{a}{7^x}$

ধরি, $\frac{a}{7^x} = \theta$
যখন $x \to \infty$, তখন $7^x \to \infty$
সুতরাং, $\theta \to 0$ এবং $7^x = \frac{a}{\theta}$

মান বসিয়ে পাই,
$L = \lim_{\theta \to 0} \frac{a}{\theta} \cdot \sin \theta$
$=> L = a \cdot \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta}$
আমরা জানি, $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$
$=> L = a \cdot 1 = a$

উত্তর: $a$

---

খ) দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে মূল নিয়মে $\frac{f(\frac{\pi}{2}-2x)}{f(2x)}$ এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে, $f(x) = \sin x$
ধরি, $F(x) = \frac{f(\frac{\pi}{2}-2x)}{f(2x)} = \frac{\sin(\frac{\pi}{2}-2x)}{\sin 2x} = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} = \cot 2x$

সুতরাং, $F(x+h) = \cot 2(x+h)$
মূল নিয়ম অনুসারে আমরা জানি,
$\frac{d}{dx}\{F(x)\} = \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h}$
$=> \frac{d}{dx}(\cot 2x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cot 2(x+h) - \cot 2x}{h}$
$=> \frac{d}{dx}(\cot 2x) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left\{ \frac{\cos 2(x+h)}{\sin 2(x+h)} - \frac{\cos 2x}{\sin 2x} \right\}$
$=> \frac{d}{dx}(\cot 2x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos 2(x+h)\sin 2x - \sin 2(x+h)\cos 2x}{h \cdot \sin 2(x+h)\sin 2x}$
$=> \frac{d}{dx}(\cot 2x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin\{2x - 2(x+h)\}}{h \cdot \sin 2(x+h)\sin 2x}$ [$\because \sin A\cos B - \cos A\sin B = \sin(A-B)$]
$=> \frac{d}{dx}(\cot 2x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(-2h)}{h \cdot \sin 2(x+h)\sin 2x}$
$=> \frac{d}{dx}(\cot 2x) = \lim_{h \to 0} \frac{-\sin 2h}{2h} \cdot \frac{2}{\sin 2(x+h)\sin 2x}$
$=> \frac{d}{dx}(\cot 2x) = - \left( \lim_{2h \to 0} \frac{\sin 2h}{2h} \right) \cdot \frac{2}{\sin 2(x+0)\sin 2x}$
$=> \frac{d}{dx}(\cot 2x) = -1 \cdot \frac{2}{\sin^2 2x} = -2 \csc^2 2x$

উত্তর: $-2 \csc^2 2x$

---

গ) দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে প্রমাণ কর যে, $(1-x^2)y_2 - xy_1 = m^2 y$।

দেওয়া আছে, $x = \sin\left(\frac{1}{m} \ln y\right)$
$=> \sin^{-1} x = \frac{1}{m} \ln y$
$=> m \sin^{-1} x = \ln y$

$x$ এর সাপেক্ষে উভয়পক্ষকে অন্তরীকরণ করে পাই,
$\frac{m}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{y} \cdot y_1$
$=> m y = y_1 \sqrt{1-x^2}$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
$m^2 y^2 = y_1^2 (1-x^2)$

পুনরায় $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
$m^2 \cdot 2y y_1 = 2y_1 y_2 (1-x^2) + y_1^2 (-2x)$
$=> 2 m^2 y y_1 = 2y_1 y_2 (1-x^2) - 2x y_1^2$

উভয়পক্ষকে $2y_1$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
$m^2 y = y_2 (1-x^2) - x y_1$
$=> (1-x^2)y_2 - x y_1 = m^2 y$

(প্রমাণিত)