ক) $\int \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} dx$ নির্ণয় কর।

ধরি, $I = \int \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} dx$
লবকে হর এবং হরের অন্তরজের মাধ্যমে প্রকাশ করি: $\cos x = A(\cos x + \sin x) + B \cdot \frac{d}{dx}(\cos x + \sin x)$
$=> \cos x = A(\cos x + \sin x) + B(-\sin x + \cos x)$
$=> \cos x = (A + B)\cos x + (A - B)\sin x$

সহগ সমীকৃত করে পাই:
$A + B = 1 \cdots\cdots (i)$
$A - B = 0 \implies A = B \cdots\cdots (ii)$
$(i)$ নং এ মান বসিয়ে পাই, $2A = 1 \implies A = \frac{1}{2}$ এবং $B = \frac{1}{2}$।

$=> I = \int \frac{\frac{1}{2}(\cos x + \sin x) + \frac{1}{2}(-\sin x + \cos x)}{\cos x + \sin x} dx$
$=> I = \frac{1}{2} \int 1 dx + \frac{1}{2} \int \frac{-\sin x + \cos x}{\cos x + \sin x} dx$
$=> I = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \ln|\cos x + \sin x| + c$

উত্তর: $\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \ln|\cos x + \sin x| + c$

---

খ) $\int_0^{\pi/2} g(x) dx$ এর মান নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে, $g(x) = \sqrt{\cos x \sin^3 x} = \sin^{3/2} x \cos^{1/2} x$
ধরি, $I = \int_0^{\pi/2} \sin^{3/2} x \cos^{1/2} x dx$

আমরা জানি, বিটা ফাংশনের সূত্রানুসারে: $\int_0^{\pi/2} \sin^{p} x \cos^{q} x dx = \frac{\Gamma\left(\frac{p+1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{q+1}{2}\right)}{2\Gamma\left(\frac{p+q+2}{2}\right)}$
এখানে, $p = \frac{3}{2}$ এবং $q = \frac{1}{2}$

$=> \frac{p+1}{2} = \frac{\frac{3}{2}+1}{2} = \frac{5}{4}$
$=> \frac{q+1}{2} = \frac{\frac{1}{2}+1}{2} = \frac{3}{4}$
$=> \frac{p+q+2}{2} = \frac{\frac{3}{2}+\frac{1}{2}+2}{2} = \frac{4}{2} = 2$

মান বসিয়ে পাই:
$I = \frac{\Gamma\left(\frac{5}{4}\right)\Gamma\left(\frac{3}{4}\right)}{2\Gamma(2)}$
আমরা জানি, $\Gamma(2) = 1! = 1$ এবং $\Gamma(n)\Gamma(1-n) = \frac{\pi}{\sin(n\pi)}$ সূত্র অনুযায়ী:
$\Gamma\left(\frac{5}{4}\right) = \frac{1}{4}\Gamma\left(\frac{1}{4}\right)$
$=> I = \frac{\frac{1}{4}\Gamma\left(\frac{1}{4}\right)\Gamma\left(\frac{3}{4}\right)}{2 \cdot 1} = \frac{1}{8} \left[\Gamma\left(\frac{1}{4}\right)\Gamma\left(1 - \frac{1}{4}\right)\right]$
$=> I = \frac{1}{8} \cdot \frac{\pi}{\sin\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{\pi}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\pi}{8/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}\pi}{8} = \frac{\pi}{4\sqrt{2}}$

উত্তর: $\frac{\pi}{4\sqrt{2}}$

---

গ) $f(x, y) = 0$ এবং $x$ অক্ষ দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল বের কর।

দেওয়া আছে, $f(x, y) = x^2 + y^2 + 6x - 2y - 15 = 0 \cdots\cdots (i)$
এটি একটি বৃত্তের সমীকরণ যার কেন্দ্র $(-3, 1)$ এবং ব্যাসার্ধ $R = \sqrt{3^2 + (-1)^2 - (-15)} = \sqrt{9 + 1 + 15} = 5$ একক।

$x$-অক্ষের সমীকরণ $y = 0$। $(i)$ নং সমীকরণে $y = 0$ বসিয়ে ছেদবিন্দু নির্ণয় করি:
$x^2 + 0^2 + 6x - 2(0) - 15 = 0$
$=> x^2 + 6x - 15 = 0$
$=> x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4(1)(-15)}}{2(1)} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 60}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{96}}{2} = -3 \pm 2\sqrt{6}$

ধরি, $x_1 = -3 - 2\sqrt{6}$ এবং $x_2 = -3 + 2\sqrt{6}$।
$(i)$ নং হতে $y$ এর মান নির্ণয় করি:
$y^2 - 2y + (x^2 + 6x - 15) = 0$
$=> y = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(x^2+6x-15)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4x^2 - 24x + 60}}{2} = 1 \pm \sqrt{16 - 6x - x^2}$
যেহেতু কেন্দ্রটি $y = 1$ এ এবং আমরা $x$-অক্ষ ($y=0$) দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশটি বের করছি, তাই নিচের বক্ররেখাটি হবে $y = 1 - \sqrt{16 - 6x - x^2}$।

$x$-অক্ষ ($y=0$) এবং বৃত্তের নিম্নচাপ দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল $A$:
$A = \int_{x_1}^{x_2} (0 - y_{lower}) dx = \int_{-3-2\sqrt{6}}^{-3+2\sqrt{6}} \left(\sqrt{16 - 6x - x^2} - 1\right) dx$
ধরি, $x + 3 = z \implies dx = dz$
সীমা পরিবর্তন: যখন $x = -3 \pm 2\sqrt{6}$, তখন $z = \pm 2\sqrt{6}$
এছাড়াল, $16 - 6x - x^2 = 25 - (x+3)^2 = 25 - z^2$

$=> A = \int_{-2\sqrt{6}}^{2\sqrt{6}} \left(\sqrt{25 - z^2} - 1\right) dz = 2 \int_{0}^{2\sqrt{6}} \left(\sqrt{25 - z^2} - 1\right) dz$
$=> A = 2 \left[ \frac{z\sqrt{25-z^2}}{2} + \frac{25}{2}\sin^{-1}\left(\frac{z}{5}\right) - z \right]_{0}^{2\sqrt{6}}$
$=> A = \left[ z\sqrt{25-z^2} + 25\sin^{-1}\left(\frac{z}{5}\right) - 2z \right]_{0}^{2\sqrt{6}}$
$=> A = 2\sqrt{6}\sqrt{25-24} + 25\sin^{-1}\left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right) - 4\sqrt{6}$
$=> A = 2\sqrt{6} \cdot 1 + 25\sin^{-1}\left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right) - 4\sqrt{6}$
$=> A = 25\sin^{-1}\left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right) - 2\sqrt{6}$

উত্তর: $25\sin^{-1}\left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right) - 2\sqrt{6}$ বর্গ একক।











X
Y
x²+y²+6x-2y-15=0

চিত্র: বৃত্ত $x^2 + y^2 + 6x - 2y - 15 = 0$ এবং $x$-অক্ষ দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষুদ্রতর নিম্ন অংশটি লাল রঙে ছায়াযুক্ত করে দেখানো হলো।