ক) $\int e^{\ln(\ln x)} dx$ নির্ণয় কর।

ধরি, $I = \int e^{\ln(\ln x)} dx$

আমরা জানি, সূচক ও লগারিদমের ধর্ম অনুসারে $e^{\ln(\theta)} = \theta$।
সুতরাং, $e^{\ln(\ln x)} = \ln x$

মান বসিয়ে পাই:
$I = \int \ln x \cdot 1 dx$

এখন আংশিক সমাকলন বা UV পদ্ধতি ($\int u v dx = u \int v dx - \int \{ \frac{d}{dx}(u) \int v dx \} dx$) প্রয়োগ করে পাই:
$=> I = \ln x \int 1 dx - \int \left\{ \frac{d}{dx}(\ln x) \int 1 dx \right\} dx$
$=> I = x \ln x - \int \left( \frac{1}{x} \cdot x \right) dx$
$=> I = x \ln x - \int 1 dx$
$=> I = x \ln x - x + c$
$=> I = x(\ln x - 1) + c$

উত্তর: $x(\ln x - 1) + c$

---

খ) $y = f(x)$ বক্ররেখার যে সকল বিন্দুতে স্পর্শকগুলো অক্ষদ্বয়ের সাথে সমান সমান কোণ উৎপন্ন করে তাদের ভুজ নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে, $y = f(x) = x^3 - 3x^2 - 2x + 1$

$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে স্পর্শকের ঢাল ($\frac{dy}{dx}$) নির্ণয় করি:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 - 2x + 1)$
$=> \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 6x - 2$

শর্তানুসারে, স্পর্শকগুলো অক্ষদ্বয়ের সাথে সমান সমান কোণ উৎপন্ন করে।
আমরা জানি, কোনো সরলরেখা অক্ষদ্বয়ের সাথে সমান কোণ উৎপন্ন করলে তার ঢাল $m = \pm \tan 45^\circ = \pm 1$ হয়।
অতএব, $\frac{dy}{dx} = \pm 1$

ক্ষেত্র-১: ধনাত্মক চিহ্ন নিয়ে পাই
$3x^2 - 6x - 2 = 1$
$=> 3x^2 - 6x - 3 = 0$
$=> x^2 - 2x - 1 = 0$
দ্বিঘাত সূত্র প্রয়োগ করে পাই:
$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$
$=> x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2}$
$=> x = 1 \pm \sqrt{2}$

ক্ষেত্র-২: ঋণাত্মক চিহ্ন নিয়ে পাই
$3x^2 - 6x - 2 = -1$
$=> 3x^2 - 6x - 1 = 0$
$=> 3x^2 - 6x - 1 = 0$
দ্বিঘাত সূত্র প্রয়োগ করে পাই:
$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)}$
$=> x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 12}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{48}}{6} = \frac{6 \pm 4\sqrt{3}}{6}$
$=> x = 1 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3} = 1 \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

উত্তর: বিন্দুর ভুজসমূহ $x = 1 \pm \sqrt{2}$ এবং $x = 1 \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$।

---

গ) দৃশ্যকল্পে উল্লিখিত পরাবৃত্ত ও এর উপকেন্দ্রিক লম্ব দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বের কর।

প্রদত্ত পরাবৃত্তের সমীকরণ: $y = \frac{1}{8}x^2 \implies x^2 = 8y$
আদর্শ সমীকরণ $x^2 = 4ay$ এর সাথে তুলনা করে পাই:
$4a = 8 \implies a = 2$

পরাবৃত্তটির শীর্ষবিন্দু $(0,0)$ এবং অক্ষটি $Y$-অক্ষের ধনাত্মক দিক বরাবর অবস্থিত।
এর উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ: $y = a \implies y = 2$

পরাবৃত্ত $x^2 = 8y \implies x = \pm \sqrt{8y} = \pm 2\sqrt{2}\sqrt{y}$ এবং উপকেন্দ্রিক লম্ব $y = 2$ দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $A$:
পরাবৃত্তটি $Y$-অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম হওয়ায় মোট ক্ষেত্রফল ১ম চতুর্ভাগের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ হবে।
$A = 2 \int_{0}^{2} x dy$
$=> A = 2 \int_{0}^{2} 2\sqrt{2}\sqrt{y} dy$
$=> A = 4\sqrt{2} \int_{0}^{2} y^{\frac{1}{2}} dy$
$=> A = 4\sqrt{2} \left[ \frac{y^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{2}$
$=> A = 4\sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} \left[ y^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{2}$
$=> A = \frac{8\sqrt{2}}{3} \left[ 2^{\frac{3}{2}} - 0 \right]$
আমরা জানি, $2^{\frac{3}{2}} = 2\sqrt{2}$
$=> A = \frac{8\sqrt{2}}{3} \cdot 2\sqrt{2}$
$=> A = \frac{16 \cdot 2}{3}$
$=> A = \frac{32}{3}$

উত্তর: $\frac{32}{3}$ বর্গ একক।












X
Y
O
y = 2
x² = 8y

চিত্র: পরাবৃত্ত $x^2 = 8y$ এবং তার উপকেন্দ্রিক লম্ব $y = 2$ দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রটি ছায়াযুক্ত করে প্রদর্শন করা হলো।