ক) $2x - 3y + 5 = 0$ এবং $7x + 4y - 3 = 0$ সরলরেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু নির্ণয়:
প্রদত্ত রেখাদ্বয়:
$2x - 3y + 5 = 0$ ... (১)
$7x + 4y - 3 = 0$ ... (২)
বজ্রগুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই:
$\frac{x}{(-3)(-3) - (4)(5)} = \frac{y}{(5)(7) - (-3)(2)} = \frac{1}{(2)(4) - (7)(-3)}$
$\implies \frac{x}{9 - 20} = \frac{y}{35 + 6} = \frac{1}{8 + 21}$
$\implies \frac{x}{-11} = \frac{y}{41} = \frac{1}{29}$
$\implies x = -\frac{11}{29}, \quad y = \frac{41}{29}$
অতএব, নির্ণেয় ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক $\left(-\frac{11}{29}, \frac{41}{29}\right)$।
---
খ) সামান্তরিকের অপর বাহু দুইটির সমীকরণ নির্ণয়:
উদ্দীপকের রেখাদ্বয়:
$x - 2y + 3 = 0$ ... (১) [ধরি, AB বাহু]
$2x + 3y - 1 = 0$ ... (২) [ধরি, AD বাহু]
রেখা দুটির সাধারণ ছেদবিন্দু হলো সামান্তরিকের একটি শীর্ষবিন্দু $A$।
(১) ও (২) নং সমীকরণ সমাধান করে পাই:
(১) নং কে ৩ দ্বারা এবং (২) নং কে ২ দ্বারা গুণ করে যোগ করি:
$3(x - 2y + 3) + 2(2x + 3y - 1) = 0$
$\implies 3x - 6y + 9 + 4x + 6y - 2 = 0$
$\implies 7x + 7 = 0 \implies x = -1$
$x$ এর মান (১) নং-এ বসিয়ে পাই:
$-1 - 2y + 3 = 0 \implies 2y = 2 \implies y = 1$
অতএব, শীর্ষবিন্দু $A(-1, 1)$
ধরি, সামান্তরিকের কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু $P(2, -3)$। আমরা জানি, সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
সুতরাং, $AC$ কর্ণের মধ্যবিন্দু $P$। ধরি, বিপরীত শীর্ষবিন্দু $C(x_c, y_c)$।
$\frac{-1 + x_c}{2} = 2 \implies -1 + x_c = 4 \implies x_c = 5$
$\frac{1 + y_c}{2} = -3 \implies 1 + y_c = -6 \implies y_c = -7$
অতএব, $C$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(5, -7)$
সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান্তরাল।
$AD$ বাহুর সমান্তরাল এবং $C(5, -7)$ বিন্দুগামী $BC$ বাহুর সমীকরণ:
$2x + 3y = 2(5) + 3(-7)$
$\implies 2x + 3y = 10 - 21$
$\implies 2x + 3y + 11 = 0$
$AB$ বাহুর সমান্তরাল এবং $C(5, -7)$ বিন্দুগামী $CD$ বাহুর সমীকরণ:
$x - 2y = 5 - 2(-7)$
$\implies x - 2y = 5 + 14$
$\implies x - 2y - 19 = 0$
অতএব, অপর বাহু দুইটির সমীকরণ $2x + 3y + 11 = 0$ এবং $x - 2y - 19 = 0$।
---
গ) প্রথম সরলরেখার $\sqrt{5}$ একক দূরবর্তী সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয়:
উদ্দীপকের ১ম সরলরেখা: $x - 2y + 3 = 0$ ... (১)
(১) নং রেখার সমান্তরাল যেকোনো সরলরেখার সমীকরণ:
$x - 2y + k = 0$ ... (২)
আমরা জানি, দুটি সমান্তরাল রেখা $ax + by + c_1 = 0$ এবং $ax + by + c_2 = 0$ এর মধ্যবর্তী দূরত্ব $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$।
প্রশ্নানুযায়ী, রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব $\sqrt{5}$ একক।
$\implies \frac{|k - 3|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \sqrt{5}$
$\implies \frac{|k - 3|}{\sqrt{1 + 4}} = \sqrt{5}$
$\implies \frac{|k - 3|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$
$\implies |k - 3| = 5$
$\implies k - 3 = \pm 5$
(+) চিহ্ন নিয়ে পাই: $k - 3 = 5 \implies k = 8$
(-) চিহ্ন নিয়ে পাই: $k - 3 = -5 \implies k = -2$
$k$ এর মান (২) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, নির্ণেয় সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের সমীকরণ:
$x - 2y + 8 = 0$ এবং $x - 2y - 2 = 0$