ক) $\lim_{x \to 0} \frac{x^4 + 3x^2 - 1}{3x^4 + x^3 - 2x}$ এর মান নির্ণয়:
প্রদত্ত সীমা:
$\lim_{x \to 0} \frac{x^4 + 3x^2 - 1}{3x^4 + x^3 - 2x}$

সীমার মান সরাসরি বসিয়ে পাই:
$\implies \frac{0^4 + 3(0)^2 - 1}{3(0)^4 + 0^3 - 2(0)}$
$\implies \frac{0 + 0 - 1}{0 + 0 - 0}$
$\implies \frac{-1}{0} = \infty$

যেহেতু সীমাটির মান অসীম ($\infty$) আসে, তাই এই সীমার কোনো নির্দিষ্ট সসীম মান নেই।

---

খ) দৃশ্যকল্প-১ হতে $\{f(x)\}^{g(x)} + \{g(x)\}^{f(x)}$ এর অন্তরজ নির্ণয়:
উদ্দীপকের দৃশ্যকল্প-১ হতে পাই: $f(x) = x$ এবং $g(x) = \sin x$
ধরি, $y = \{f(x)\}^{g(x)} + \{g(x)\}^{f(x)}$
$\implies y = x^{\sin x} + (\sin x)^x$

ধরি, $u = x^{\sin x}$ এবং $v = (\sin x)^x$
অতএব, $y = u + v$
$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই:
$\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx}$ ... (১)

এখন, $u = x^{\sin x}$
উভয়পক্ষে $\ln$ নিয়ে পাই: $\ln u = \sin x \ln x$
$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ (ইউভি সূত্র প্রয়োগ) করে পাই:
$\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin x) \cdot \ln x + \sin x \cdot \frac{d}{dx}(\ln x)$
$\implies \frac{1}{u} \frac{du}{dx} = \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}$
$\implies \frac{du}{dx} = x^{\sin x} \left( \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \right)$ ... (২)

আবার, $v = (\sin x)^x$
উভয়পক্ষে $\ln$ নিয়ে পাই: $\ln v = x \ln(\sin x)$
$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই:
$\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(x) \cdot \ln(\sin x) + x \cdot \frac{d}{dx}(\ln(\sin x))$
$\implies \frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = 1 \cdot \ln(\sin x) + x \cdot \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x$
$\implies \frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = \ln(\sin x) + x \cot x$
$\implies \frac{dv}{dx} = (\sin x)^x (\ln(\sin x) + x \cot x)$ ... (৩)

(২) ও (৩) নং হতে প্রাপ্ত মান (১) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$\frac{dy}{dx} = x^{\sin x} \left( \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \right) + (\sin x)^x (\ln(\sin x) + x \cot x)$

---

গ) দৃশ্যকল্প-২ থেকে প্রমাণ কর যে, $(1-x^2)y_2 - xy_1 + n^2 y = 0$:
উদ্দীপকের দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই:
$n \sin^{-1} x = \sin^{-1} y$
$\implies y = \sin(n \sin^{-1} x)$

$x$ এর সাপেক্ষে ১ম বার অন্তরীকরণ করে পাই:
$y_1 = \cos(n \sin^{-1} x) \cdot \frac{d}{dx}(n \sin^{-1} x)$
$\implies y_1 = \cos(n \sin^{-1} x) \cdot \frac{n}{\sqrt{1-x^2}}$
$\implies \sqrt{1-x^2} y_1 = n \cos(n \sin^{-1} x) $

উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই:
$(1-x^2) y_1^2 = n^2 \cos^2(n \sin^{-1} x)$
$\implies (1-x^2) y_1^2 = n^2 [1 - \sin^2(n \sin^{-1} x)]$
$\implies (1-x^2) y_1^2 = n^2 (1 - y^2)$ $[\because y = \sin(n \sin^{-1} x)]$

পুনরায় $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ (ইউভি সূত্র প্রয়োগ) করে পাই:
$(1-x^2) \cdot \frac{d}{dx}(y_1^2) + y_1^2 \cdot \frac{d}{dx}(1-x^2) = n^2 \cdot \frac{d}{dx}(1 - y^2)$
$\implies (1-x^2) \cdot 2y_1 y_2 + y_1^2 \cdot (-2x) = n^2 \cdot (-2y y_1)$
$\implies 2(1-x^2)y_1 y_2 - 2xy_1^2 = -2n^2 y y_1$

উভয়পক্ষকে সাধারণ উৎপাদক $2y_1$ দ্বারা ভাগ করে পাই:
$(1-x^2)y_2 - xy_1 = -n^2 y$
$\implies (1-x^2)y_2 - xy_1 + n^2 y = 0$ (প্রমাণিত)