ক-এর উত্তর:
আমরা জানি, কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল জটিল ($3 + 2i$) হলে অপর মূলটি হবে তার অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা অর্থাৎ ($3 - 2i$)।
মূলদ্বয়ের যোগফল = $(3 + 2i) + (3 - 2i) = 6$
মূলদ্বয়ের গুণফল = $(3 + 2i)(3 - 2i) = 3^{2} - (2i)^{2} = 9 + 4 = 13$

$\therefore$ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে:
$x^{2} - (\text{মূলদ্বয়ের যোগফল})x + (\text{মূলদ্বয়ের গুণফল}) = 0$
বা, $x^{2} - 6x + 13 = 0$

খ-এর উত্তর:
ধরি, দৃশ্যকল্প-১ এর সমীকরণদ্বয়ের সাধারণ মূলটি $\alpha$।
$\therefore a\alpha^{2} + b\alpha + c = 0$ --- (i)
এবং $c\alpha^{2} + b\alpha + a = 0$ --- (ii)

বজ্রগুণন সূত্র প্রয়োগ করে পাই:
$\frac{\alpha^{2}}{ab - bc} = \frac{\alpha}{c^{2} - a^{2}} = \frac{1}{ab - bc}$
বা, $\frac{\alpha^{2}}{b(a - c)} = \frac{\alpha}{(c - a)(c + a)} = \frac{1}{b(a - c)}$

প্রথম ও তৃতীয় অনুপাত হতে, $\alpha^{2} = 1 \implies \alpha = \pm 1$
দ্বিতীয় ও তৃতীয় অনুপাত হতে, $\alpha = \frac{(c - a)(c + a)}{b(a - c)} = -\frac{(a - c)(c + a)}{b(a - c)} = -\frac{c + a}{b}$

এখন $\alpha$ এর মান বসালে পাই:
$-\frac{c + a}{b} = \pm 1$
বা, $(c + a) = \mp b$
বর্গ করে পাই, $(c + a)^{2} = b^{2}$

বিঃদ্রঃ আপনার প্রশ্নে $(c + a)^{2} = b$ প্রমাণ করতে বলা হয়েছে, কিন্তু বজ্রগুণন ও সাধারণ মূলের গাণিতিক নিয়ম অনুযায়ী এটি $(c + a)^{2} = b^{2}$ অথবা $a + b + c = 0$ শর্ত নির্দেশ করে। সমীকরণের সহগ বিন্যাস অনুযায়ী $(c + a)^{2} = b^{2}$ ই সঠিক প্রমাণ।

গ-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, $x^{3} + y^{3} = 0$
বা, $(x + y)(x^{2} - xy + y^{2}) = 0$
বা, $(x + y)(x + \omega y)(x + \omega^{2} y) = 0$

এখন, $x + y = (p\omega^{2} + q + r\omega) + (p\omega + q + r\omega^{2})$
$= 2q + p(\omega^{2} + \omega) + r(\omega + \omega^{2})$
$= 2q - p - r$ [যেহেতু $1 + \omega + \omega^{2} = 0 \implies \omega + \omega^{2} = -1$]
যদি $x + y = 0$ হয়, তবে $2q - p - r = 0 \implies 2q = p + r$

অনুরূপভাবে, $x + \omega y = 0$ সমীকরণ হতে পাওয়া যায় $2r = p + q$
এবং $x + \omega^{2} y = 0$ সমীকরণ হতে পাওয়া যায় $2p = q + r$

$\therefore$ প্রমাণিত হলো যে, $2p = q + r$ অথবা, $2q = r + p$ অথবা, $2r = p + q$।