ক-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, $z = \frac{1 - 2i}{2 + i}$
বা, $z = \frac{(1 - 2i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} = \frac{2 - i - 4i + 2i^{2}}{4 - i^{2}}$
বা, $z = \frac{2 - 5i - 2}{4 + 1} = \frac{-5i}{5} = -i$
এখানে, $z = 0 + i(-1)$, যা জটিল সমতলে ঋণাত্মক y-অক্ষের ওপর অবস্থিত।
$\therefore Arg(z) = \tan^{-1}(\frac{-1}{0}) = -\frac{\pi}{2}$ বা $270^\circ$।

খ-এর উত্তর:
দৃশ্যকল্প-১: $x^{3} + 0 \cdot x^{2} + ax + b = 0$
মূলত্রয় $\alpha, \beta, \gamma$ হলে,
$\sum \alpha = \alpha + \beta + \gamma = 0$
$\sum \alpha \beta = \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = a$
$\alpha \beta \gamma = -b$

এখন, $\sum \frac{1}{\alpha^{2}} = \frac{1}{\alpha^{2}} + \frac{1}{\beta^{2}} + \frac{1}{\gamma^{2}}$
$= \frac{\beta^{2} \gamma^{2} + \gamma^{2} \alpha^{2} + \alpha^{2} \beta^{2}}{(\alpha \beta \gamma)^{2}}$
$= \frac{(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)^{2} - 2\alpha \beta \gamma(\alpha + \beta + \gamma)}{(\alpha \beta \gamma)^{2}}$
$= \frac{a^{2} - 2(-b)(0)}{(-b)^{2}}$
$= \frac{a^{2}}{b^{2}}$
$\therefore \sum \frac{1}{\alpha^{2}} = \frac{a^{2}}{b^{2}}$।

গ-এর উত্তর:
দৃশ্যকল্প-২ অনুযায়ী, $Q(x) = ax^{2} + cx + b$
এখানে, $Q(\omega^{4}) = Q(\omega) = a\omega^{2} + c\omega + b$ [যেহেতু $\omega^{4} = \omega$]
এবং $Q(\omega^{2}) = a(\omega^{2})^{2} + c\omega^{2} + b = a\omega + c\omega^{2} + b$ [যেহেতু $\omega^{4} = \omega$]

ধরি, $X = Q(\omega) = a\omega^{2} + c\omega + b$ এবং $Y = Q(\omega^{2}) = a\omega + c\omega^{2} + b$
দেওয়া আছে, $X^{3} + Y^{3} = 0 \implies (X + Y)(X^{2} - XY + Y^{2}) = 0$
বা, $(X + Y)(X + \omega Y)(X + \omega^{2} Y) = 0$

১ম উৎপাদক: $X + Y = a(\omega^{2} + \omega) + c(\omega + \omega^{2}) + 2b = -a - c + 2b$
যদি $X + Y = 0$ হয়, তবে $2b = a + c$
অনুরূপভাবে অন্য উৎপাদকগুলো থেকে $2a = b + c$ এবং $2c = a + b$ পাওয়া যায়।
এই তিনটি সম্পর্ক গুণ করলে পাই, $(2a)(2b)(2c) = (b+c)(a+c)(a+b)$
$\therefore 8abc = (a + b)(b + c)(c + a)$ (দেখানো হলো)।