ক-এর উত্তর:
ধরি, বলদ্বয় $P$ ও $Q$ ($P \geq Q$)।
প্রশ্নমতে, বৃহত্তম লব্ধি $P + Q = 10$ --- (i)
এবং ক্ষুদ্রতম লব্ধি $P - Q = 2$ --- (ii)
(i) ও (ii) যোগ করে পাই, $2P = 12 \implies P = 6$ কেজি-ওজন।
(i) হতে পাই, $Q = 10 - 6 = 4$ কেজি-ওজন।
বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha = 60^\circ$ হলে, লব্ধি $R$:
$R = \sqrt{P^{2} + Q^{2} + 2PQ \cos 60^\circ}$
বা, $R = \sqrt{6^{2} + 4^{2} + 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2}}$
বা, $R = \sqrt{36 + 16 + 24} = \sqrt{76} = 2\sqrt{19}$ কেজি-ওজন।
$\therefore$ লব্ধির মান $2\sqrt{19}$ কেজি-ওজন।

খ-এর উত্তর:
দৃশ্যকল্প-১ হতে দেখা যায় $P$ ও $Q$ বলদ্বয়ের লব্ধি $R$। $P$ ও $R$ এর মধ্যবর্তী কোণ $\beta$ এবং $P$ ও $Q$ এর মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$।
দেওয়া আছে, $\alpha = 3\beta$। সুতরাং $Q$ ও $R$ এর মধ্যবর্তী কোণ $= \alpha - \beta = 3\beta - \beta = 2\beta$।
সাইন সূত্র (Lami's Theorem এর অনুরূপ অংশ) প্রয়োগ করে পাই:
$\frac{Q}{\sin \beta} = \frac{P}{\sin 2\beta} = \frac{R}{\sin 3\beta}$

১ম ও ২য় অংশ হতে:
$\frac{Q}{\sin \beta} = \frac{P}{2 \sin \beta \cos \beta}$
বা, $2Q \cos \beta = P \implies \cos \beta = \frac{P}{2Q}$
যেহেতু $\beta = \alpha/3$, সেহেতু $\cos \frac{\alpha}{3} = \frac{P}{2Q}$ (প্রমাণিত)।

আবার, ১ম ও ৩য় অংশ হতে:
$R = \frac{Q \sin 3\beta}{\sin \beta} = \frac{Q(3 \sin \beta - 4 \sin^{3} \beta)}{\sin \beta} = Q(3 - 4 \sin^{2} \beta)$
বা, $R = Q\{3 - 4(1 - \cos^{2} \beta)\} = Q(4 \cos^{2} \beta - 1)$
বা, $R = Q\{4(\frac{P^{2}}{4Q^{2}}) - 1\} = Q(\frac{P^{2}}{Q^{2}} - 1) = Q(\frac{P^{2} - Q^{2}}{Q^{2}})$
$\therefore R = \frac{P^{2} - Q^{2}}{Q}$ (প্রমাণিত)।

গ-এর উত্তর:
দৃশ্যকল্প-২ অনুযায়ী $O$ হলো $\triangle ABC$ এর অন্তঃকেন্দ্র। $OA, OB, OC$ বরাবর যথাক্রমে $X, Y, Z$ বলত্রয় সাম্যাবস্থায় আছে।
লামীর উপপাদ্য হতে পাই,
$\frac{X}{\sin \angle BOC} = \frac{Y}{\sin \angle COA} = \frac{Z}{\sin \angle AOB}$
আমরা জানি, অন্তঃকেন্দ্রের ক্ষেত্রে $\angle BOC = 90^\circ + A/2$
$\therefore \frac{X}{\sin(90^\circ + A/2)} = \frac{Y}{\sin(90^\circ + B/2)} = \frac{Z}{\sin(90^\circ + C/2)}$
বা, $\frac{X}{\cos(A/2)} = \frac{Y}{\cos(B/2)} = \frac{Z}{\cos(C/2)}$
বর্গ করে পাই,
$\frac{X^{2}}{\cos^{2}(A/2)} = \frac{Y^{2}}{\cos^{2}(B/2)} = \frac{Z^{2}}{\cos^{2}(C/2)}$
আমরা জানি, $2 \cos^{2} \theta = 1 + \cos 2\theta \implies \cos^{2}(A/2) = \frac{1 + \cos A}{2}$
$\therefore \frac{X^{2}}{\frac{1 + \cos A}{2}} = \frac{Y^{2}}{\frac{1 + \cos B}{2}} = \frac{Z^{2}}{\frac{1 + \cos C}{2}}$
বা, $\frac{X^{2}}{1 + \cos A} = \frac{Y^{2}}{1 + \cos B} = \frac{Z^{2}}{1 + \cos C}$ (প্রমাণিত)।