ক-এর উত্তর:
এখানে, নৌকার বেগ $u = 4 kmh^{-1}$, স্রোতের বেগ $v = 3 kmh^{-1}$ এবং নদীর প্রস্থ $d = 250 m = 0.25 km$।
ন্যূনতম পথে নদী পাড়ি দিতে হলে নৌকাকে স্রোতের সাথে এমন কোণে চলতে হবে যেন লব্ধি বেগ নদীর প্রস্থ বরাবর হয়।
নির্ণেয় লব্ধি বেগ, $w = \sqrt{u^{2} - v^{2}} = \sqrt{4^{2} - 3^{2}} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7} kmh^{-1}$
নদী পাড়ি দিতে প্রয়োজনীয় সময়, $t = \frac{d}{w} = \frac{0.25}{\sqrt{7}}$ ঘণ্টা।
মিনিটে নিলে, $t = \frac{0.25}{\sqrt{7}} \times 60 \approx 5.67$ মিনিট।

খ-এর উত্তর:
দৃশ্যকল্প-১ এ একটি প্রাসের গতিপথ দেখানো হয়েছে। প্রাসের সমীকরণ: $y = x \tan \alpha - \frac{gx^{2}}{2u^{2}\cos^{2}\alpha}$
আমরা জানি পাল্লা $R = \frac{2u^{2}\sin\alpha\cos\alpha}{g}$, এখান থেকে পাই $\frac{g}{2u^{2}\cos^{2}\alpha} = \frac{\tan\alpha}{R}$
$\therefore y = x \tan \alpha (1 - \frac{x}{R})$
চিত্রানুসারে, $x = d_{1}$ হলে $y = d_{2}$ এবং $x = d_{2}$ হলে $y = d_{1}$।
১ম শর্তে: $d_{2} = d_{1} \tan \alpha (1 - \frac{d_{1}}{R}) = d_{1} \tan \alpha (\frac{R - d_{1}}{R})$ --- (i)
২য় শর্তে: $d_{1} = d_{2} \tan \alpha (1 - \frac{d_{2}}{R}) = d_{2} \tan \alpha (\frac{R - d_{2}}{R})$ --- (ii)
(i) কে (ii) দ্বারা ভাগ করে পাই:
$\frac{d_{2}}{d_{1}} = \frac{d_{1}(R - d_{1})}{d_{2}(R - d_{2})}$
বা, $d_{2}^{2}(R - d_{2}) = d_{1}^{2}(R - d_{1})$
বা, $Rd_{2}^{2} - d_{2}^{3} = Rd_{1}^{2} - d_{1}^{3}$
বা, $R(d_{2}^{2} - d_{1}^{2}) = d_{2}^{3} - d_{1}^{3}$
বা, $R(d_{2} - d_{1})(d_{2} + d_{1}) = (d_{2} - d_{1})(d_{2}^{2} + d_{1}d_{2} + d_{1}^{2})$
$\therefore R = \frac{d_{1}^{2} + d_{1}d_{2} + d_{2}^{2}}{d_{1} + d_{2}}$ (দেখানো হলো)।

গ-এর উত্তর:
দেওয়া আছে বেলুনটি $u = \sqrt{2gy}$ আদিবেগে $A$ হতে $B$ উচ্চতায় উঠে।
$\therefore$ সর্বোচ্চ উচ্চতা $H = AB = \frac{u^{2}}{2g} = \frac{(\sqrt{2gy})^{2}}{2g} = \frac{2gy}{2g} = y$।
ধরি শব্দের বেগ $V$। $B$ বিন্দুতে বেলুনটি ফেটে গেলে শব্দ $A$ ও $C$ স্থানে পৌঁছাতে যথাক্রমে $t_{1}$ ও $t_{2}$ সময় নেয়।
$A$ হতে $B$ এর দূরত্ব $y$, $\therefore t_{1} = \frac{y}{V}$
$C$ হতে $B$ এর দূরত্ব (পিথাগোরাস অনুযায়ী) $= \sqrt{AB^{2} + AC^{2}} = \sqrt{y^{2} + x^{2}}$
$\therefore t_{2} = \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{V}$
প্রশ্নমতে, সময়ের পার্থক্য $t_{2} - t_{1} = \frac{1}{n}$
বা, $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{V} - \frac{y}{V} = \frac{1}{n}$
বা, $\frac{1}{V} (\sqrt{x^{2} + y^{2}} - y) = \frac{1}{n}$
বা, $V = n (\sqrt{x^{2} + y^{2}} - y)$
$\therefore$ শব্দের বেগ $= n (\sqrt{x^{2} + y^{2}} - y) মি./সে.$ (প্রমাণিত)।