ক-এর উত্তর:
প্রদত্ত অধিবৃত্তের সমীকরণ: $4y^{2} - 5x^{2} = 20$
উভয় পক্ষকে $20$ দ্বারা ভাগ করে পাই, $\frac{y^{2}}{5} - \frac{x^{2}}{4} = 1$
এখানে, $b^{2} = 5$ এবং $a^{2} = 4$।
যেহেতু এটি $y$-অক্ষ অভিমুখী অধিবৃত্ত, তাই উৎকেন্দ্রিকতা $e = \sqrt{1 + \frac{a^{2}}{b^{2}}}$
$\implies e = \sqrt{1 + \frac{4}{5}} = \sqrt{\frac{9}{5}}$
$\therefore e = \frac{3}{\sqrt{5}}$ (নির্ণেয় মান)।

খ-এর উত্তর:
উদ্দীপক হতে নিয়ামক রেখার সমীকরণ: $3x + 4y - 12 = 0$
উপকেন্দ্র $S(0, 0)$ এবং উৎকেন্দ্রিকতা $e = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
ধরি, উপবৃত্তের ওপর যেকোনো একটি বিন্দু $P(x, y)$।
কণিকের সংজ্ঞা হতে আমরা জানি, $SP = e \cdot PM$
$\implies \sqrt{(x-0)^{2} + (y-0)^{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{|3x + 4y - 12|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}}$
$\implies \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \frac{3x + 4y - 12}{5\sqrt{3}}$
উভয় পক্ষকে বর্গ করে পাই,
$\implies x^{2} + y^{2} = \frac{(3x + 4y - 12)^{2}}{25 \cdot 3}$
$\implies 75(x^{2} + y^{2}) = 9x^{2} + 16y^{2} + 144 + 24xy - 96y - 72x$
$\therefore 66x^{2} - 24xy + 59y^{2} + 72x + 96y - 144 = 0$ (নির্ণেয় সমীকরণ)।

গ-এর উত্তর:
চিত্র হতে দেখা যায়, $AC \equiv 3x + 4y = 12$ রেখাটি $x$-অক্ষকে $A(4, 0)$ এবং $y$-অক্ষকে $C(0, 3)$ বিন্দুতে ছেদ করে।
আবার $BC = 5$ এবং $\triangle OBC$ সমকোণী ত্রিভুজ হওয়ায়, $OB = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4$।
যেহেতু $B$ বিন্দু $x$-অক্ষের ঋণাত্মক দিকে, তাই $B$ এর স্থানাঙ্ক $(-4, 0)$।
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয় $A(4, 0)$ ও $B(-4, 0)$। কেন্দ্র মূলবিন্দুতে হওয়ায় সমীকরণ: $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$
উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব $2ae = 4 - (-4) = 8 \implies ae = 4$
দেওয়া আছে $e = \sqrt{3}$।
$\therefore a\sqrt{3} = 4 \implies a^{2} = \frac{16}{3}$
আমরা জানি, $b^{2} = a^{2}(e^{2} - 1) = \frac{16}{3}(3 - 1) = \frac{32}{3}$
অধিবৃত্তের সমীকরণ: $\frac{x^{2}}{16/3} - \frac{y^{2}}{32/3} = 1$
$\therefore 6x^{2} - 3y^{2} = 32$ (নির্ণেয় সমীকরণ)।