ক-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, বলদ্বয় $P = 5N, Q = 8N$ এবং মধ্যবর্তী কোণ $\alpha = 60^{\circ}$।
আমরা জানি, লব্ধি $R = \sqrt{P^{2} + Q^{2} + 2PQ \cos \alpha}$
$\implies R = \sqrt{5^{2} + 8^{2} + 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^{\circ}}$
$\implies R = \sqrt{25 + 64 + 80 \cdot \frac{1}{2}}$
$\implies R = \sqrt{89 + 40} = \sqrt{129}$
$\therefore R \approx 11.358 N$
লব্ধির মান $\sqrt{129}$ নিউটন।

খ-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, $S, T, W$ বলত্রয় অন্তঃকেন্দ্র $O$ হতে $OP, OQ, OR$ বরাবর ক্রিয়াশীল থেকে সাম্যাবস্থা সৃষ্টি করে।
লামীর সূত্রানুসারে, $\frac{S}{\sin \angle QOR} = \frac{T}{\sin \angle ROP} = \frac{W}{\sin \angle POQ}$
আমরা জানি, অন্তঃকেন্দ্র $O$ এর ক্ষেত্রে, $\angle QOR = 180^{\circ} - (\frac{Q}{2} + \frac{R}{2})$
$\implies \angle QOR = 180^{\circ} - (\frac{180^{\circ} - P}{2}) = 90^{\circ} + \frac{P}{2}$
অনুরূপভাবে, $\angle ROP = 90^{\circ} + \frac{Q}{2}$ এবং $\angle POQ = 90^{\circ} + \frac{R}{2}$
$\therefore \frac{S}{\sin(90^{\circ} + P/2)} = \frac{T}{\sin(90^{\circ} + Q/2)} = \frac{W}{\sin(90^{\circ} + R/2)}$
$\implies \frac{S}{\cos(P/2)} = \frac{T}{\cos(Q/2)} = \frac{W}{\cos(R/2)}$
$\therefore S:T:W = \cos \frac{P}{2} : \cos \frac{Q}{2} : \cos \frac{R}{2}$ (প্রমাণিত)।

গ-এর উত্তর:
ধরি, $A$ ও $B$ বলদ্বয় যথাক্রমে $x_{1}$ ও $x_{2}$ বিন্দুতে ক্রিয়াশীল। তাদের লব্ধি $C$ বিন্দুতে ক্রিয়া করে।
সমান্তরাল বলের সূত্রমতে, $A \cdot AC = B \cdot BC$
ধরি, $AB$ রেখা বরাবর $A$ বলটি মূলবিন্দুতে ($0$) এবং $B$ বলটি $d$ দূরত্বে অবস্থিত।
লব্ধির অবস্থান $x = \frac{A \cdot 0 + B \cdot d}{A + B} = \frac{Bd}{A + B}$ --- (i)
এখন $A$ বলটিকে $l$ দূরত্বে সরানো হলে তার নতুন অবস্থান হবে $l$। $B$ বলের অবস্থান অপরিবর্তিত থাকে।
নতুন লব্ধির অবস্থান $x' = \frac{A \cdot l + B \cdot d}{A + B}$ --- (ii)
লব্ধির সরণ $= x' - x$
$\implies \text{সরণ} = \frac{Al + Bd}{A + B} - \frac{Bd}{A + B}$
$\implies \text{সরণ} = \frac{Al + Bd - Bd}{A + B}$
$\therefore \text{সরণ} = \frac{Al}{A + B}$ (দেখানো হলো)।