ক-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, উপবৃত্তের সমীকরণ: $\frac{x^{2}}{p} + \frac{y^{2}}{25} = 1$
উপবৃত্তটি $(6, 4)$ বিন্দুগামী। সুতরাং,
$\frac{6^{2}}{p} + \frac{4^{2}}{25} = 1 \implies \frac{36}{p} + \frac{16}{25} = 1$
$\implies \frac{36}{p} = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$
$\implies 9p = 36 \cdot 25 \implies p = 100$
এখানে, $a^{2} = p = 100 \implies a = 10$ এবং $b^{2} = 25 \implies b = 5$।
যেহেতু $a > b$, উৎকেন্দ্রিকতা $e = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 - \frac{25}{100}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
$\therefore p = 100$ এবং উৎকেন্দ্রিকতা $\frac{\sqrt{3}}{2}$।

খ-এর উত্তর:
প্রদত্ত সমীকরণ: $16x^{2} - 9y^{2} + 64x + 54y - 161 = 0$
$\implies 16(x^{2} + 4x + 4) - 64 - 9(y^{2} - 6y + 9) + 81 - 161 = 0$
$\implies 16(x + 2)^{2} - 9(y - 3)^{2} = 144$
$\implies \frac{(x + 2)^{2}}{9} - \frac{(y - 3)^{2}}{16} = 1$
এটি $\frac{X^{2}}{a^{2}} - \frac{Y^{2}}{b^{2}} = 1$ আকারের একটি অধিবৃত্ত। যেখানে $a=3, b=4$।
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $= \frac{2b^{2}}{a} = \frac{2 \cdot 16}{3} = \frac{32}{3}$।
উৎকেন্দ্রিকতা $e = \sqrt{1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 + \frac{16}{9}} = \frac{5}{3}$।
নিয়ামকের পাদবিন্দু $Z$ এর জন্য: $X = \pm \frac{a}{e}, Y = 0$
$\implies x + 2 = \pm \frac{3}{5/3} = \pm \frac{9}{5} \implies x = -2 \pm \frac{9}{5} = -\frac{1}{5}, -\frac{19}{5}$
$\implies y - 3 = 0 \implies y = 3$
$\therefore$ পাদবিন্দুদ্বয়: $(-\frac{1}{5}, 3)$ এবং $(-\frac{19}{5}, 3)$।

গ-এর উত্তর:
দৃশ্যকল্প-২ এর চিত্র হতে, পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু $A(2, 3)$ এবং নিয়ামক রেখা $y = 6$।
নিয়ামক রেখাটি $x$-অক্ষের সমান্তরাল, তাই অক্ষরেখা $y$-অক্ষের সমান্তরাল অর্থাৎ $x = 2$।
শীর্ষ $A$ হতে নিয়ামকের লম্ব দূরত্ব $a = |3 - 6| = 3$।
যেহেতু নিয়ামক শীর্ষের উপরে অবস্থিত, পরাবৃত্তটি নিচের দিকে মুখ করা।
পরাবৃত্তের সমীকরণ: $(x - h)^{2} = -4a(y - k)$ [এখানে $h=2, k=3$]
$\implies (x - 2)^{2} = -4 \cdot 3(y - 3)$
$\implies x^{2} - 4x + 4 = -12y + 36$
$\therefore x^{2} - 4x + 12y - 32 = 0$ (নির্ণেয় সমীকরণ)।