(ক) পর্যায়বৃত্ত কাকে বলে?
যদি কোনো গতিশীল বস্তুর গতি এমন হয় যে, এটি এর গতিপথের কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুকে একটি নির্দিষ্ট সময় পরপর একই দিক থেকে অতিক্রম করে, তবে সেই গতিকে পর্যায়বৃত্ত গতি বলে।

(খ) ফাঁপা দোলকপিণ্ডকে তরল দ্বারা পূর্ণ করে তলায় ছোট ছিদ্র করে দিলে দোলকটি প্রথমে ধীর এবং পরে দ্রুত চলবে কেন? ব্যাখ্যা কর।
দোলকের পর্যায়কাল $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$। এখানে $L$ হলো দোলকের ঝুলন বিন্দু থেকে পিণ্ডের ভারকেন্দ্র পর্যন্ত দূরত্ব। ফাঁপা পিণ্ডটি তরল দ্বারা পূর্ণ থাকলে ভারকেন্দ্র পিণ্ডের জ্যামিতিক কেন্দ্রে থাকে। ছিদ্র দিয়ে তরল পড়া শুরু করলে ভারকেন্দ্র নিচের দিকে নামতে থাকে, ফলে কার্যকর দৈর্ঘ্য $L$ বৃদ্ধি পায় এবং পর্যায়কাল $T$ বেড়ে যায় (অর্থাৎ ঘড়ি ধীর চলে)। কিন্তু পিণ্ডটি যখন প্রায় খালি হয়ে যায়, তখন ভারকেন্দ্র পুনরায় আগের অবস্থানে (পিণ্ডের জ্যামিতিক কেন্দ্রে) ফিরে আসে। ফলে $L$ কমে আদি মানে ফিরে আসে এবং পর্যায়কাল কমে যায় (অর্থাৎ দোলকটি আগের তুলনায় দ্রুত চলে)।

(গ) দোলকটির কার্যকর দৈর্ঘ্য কত? নির্ণয় কর।
ঠাকুরগাঁও-এ সেকেন্ড দোলকটি সঠিক সময় দেয়, তাই এর পর্যায়কাল $T = 2 s$।
ধরি, ঠাকুরগাঁও-এ অভিকর্ষজ ত্বরণ $g = 9.8 ms^{-2}$।
আমরা জানি, $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$
$2 = 2\pi\sqrt{\frac{L}{9.8}}$
$1 = \pi\sqrt{\frac{L}{9.8}}$
$1^2 = \pi^2 \times \frac{L}{9.8}$
$L = \frac{9.8}{\pi^2} = \frac{9.8}{(3.1416)^2}$
$L \approx 0.993 m$
দোলকটির কার্যকর দৈর্ঘ্য $0.993 m$।

(ঘ) তাপমাত্রাকে গ্রাহ্য করে সমুদ্র সমতল থেকে দার্জিলিং-এর উচ্চতা নির্ণয় সম্ভব কি-না গাণিতিকভাবে যাচাই কর।
হ্যাঁ, এটি সম্ভব। অভিকর্ষজ ত্বরণের পরিবর্তন ব্যবহার করে উচ্চতা নির্ণয় করা যায়।
দার্জিলিং-এ দোলকটি দিনে $30 s$ স্লো যায়।
দিনে মোট সেকেন্ড $86400 s$। স্লো গেলে নতুন পর্যায়কাল $T'$ হলে:
$T' = \frac{86400 \times 2}{86400 - 30} = \frac{172800}{86370} \approx 2.000694 s$

আমরা জানি, উচ্চতার সাথে $g$ এর সম্পর্ক:
$\frac{T'}{T} = \sqrt{\frac{g}{g'}}$
$\frac{T'}{T} = \frac{R+h}{R}$
$\frac{2.000694}{2} = \frac{6400 + h}{6400}$
$1.000347 = 1 + \frac{h}{6400}$
$0.000347 = \frac{h}{6400}$
$h = 0.000347 \times 6400$
$h \approx 2.22 km = 2220 m$

গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে, দোলকের পর্যায়কালের পরিবর্তন থেকে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান এবং পরবর্তীতে তা থেকে উচ্চতা নির্ণয় করা সম্ভব।