(ক) অবস্থান ভেক্টর কী?
প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টরের সাহায্যে প্রকাশ করা হয়, তাকে অবস্থান ভেক্টর বলে।

(খ) $\hat{i} \cdot \hat{i} \neq 0$ কেন? ব্যাখ্যা কর।
আমরা জানি, দুটি ভেক্টরের ডট গুণফল $\vec{P} \cdot \vec{Q} = |\vec{P}| |\vec{Q}| \cos\theta$। এখানে $\hat{i}$ হলো x-অক্ষ বরাবর একটি একক ভেক্টর। $\hat{i}$ এবং $\hat{i}$ একই দিকে ক্রিয়াশীল হওয়ায় এদের মধ্যবর্তী কোণ $\theta = 0^{\circ}$ এবং এদের মান $1$।
$\therefore \hat{i} \cdot \hat{i} = (1) \times (1) \times \cos 0^{\circ} = 1 \times 1 \times 1 = 1$।
যেহেতু ফলাফল ১, তাই $\hat{i} \cdot \hat{i} \neq 0$। মূলত দুটি ভেক্টর লম্ব হলে ($\theta = 90^{\circ}$) তাদের ডট গুণফল শূন্য হয়, কিন্তু এখানে ভেক্টর দুটি সমান্তরাল।

(গ) $\vec{A}$ বরাবর $\vec{B}$ এর অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
দেওয়া আছে, $\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$ এবং $\vec{B} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 7\hat{k}$
$\vec{A}$ বরাবর $\vec{B}$ এর অভিক্ষেপ $= B \cos\theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}|}$

এখানে, $\vec{A} \cdot \vec{B} = (2 \times -1) + (3 \times 2) + (5 \times 7) = -2 + 6 + 35 = 39$
এবং $|\vec{A}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 9 + 25} = \sqrt{38} \approx 6.164$
$\therefore$ অভিক্ষেপ $= \frac{39}{6.164} \approx 6.327$
$\vec{A}$ বরাবর $\vec{B}$ এর অভিক্ষেপ $6.327$।

(ঘ) উদ্দীপকের ভেক্টর তিনটি একই সমতলে থাকবে কিনা—গাণিতিকভাবে যাচাই কর।
তিনটি ভেক্টর একই সমতলে থাকার শর্ত হলো তাদের ত্রয়ী স্কেলার গুণফল (Scalar Triple Product) শূন্য হতে হবে। অর্থাৎ, $\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = 0$।

আমরা নির্ণায়কের সাহায্যে এটি পরীক্ষা করি:
$\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) =
\begin{vmatrix}
A_x & A_y & A_z \\
B_x & B_y & B_z \\
C_x & C_y & C_z
\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}
2 & 3 & 5 \\
-1 & 2 & 7 \\
1 & 7 & -1
\end{vmatrix}$

$= 2 [ (2 \times -1) - (7 \times 7) ] - 3 [ (-1 \times -1) - (7 \times 1) ] + 5 [ (-1 \times 7) - (2 \times 1) ]$
$= 2 [ -2 - 49 ] - 3 [ 1 - 7 ] + 5 [ -7 - 2 ]$
$= 2 [ -51 ] - 3 [ -6 ] + 5 [ -9 ]$
$= -102 + 18 - 45 = -129$

গাণিতিক বিশ্লেষণ: যেহেতু $\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = -129 \neq 0$, তাই উদ্দীপকের ভেক্টর তিনটি একই সমতলে থাকবে না। এরা একটি ঘনকের (Parallelepiped) তিনটি ধার নির্দেশ করে যার আয়তন ১২৯ ঘন একক।