(ক) ভূ-স্থির উপগ্রহ কী?
যে সকল কৃত্রিম উপগ্রহের আবর্তনকাল পৃথিবীর আহ্নিক গতির পর্যায়কালের (২৪ ঘণ্টা) সমান এবং যা পৃথিবীর সাপেক্ষে একটি নির্দিষ্ট স্থানে স্থির বলে মনে হয়, তাকে ভূ-স্থির উপগ্রহ বলে।

(খ) মুক্তিবেগ বস্তুর ভরের উপর নির্ভরশীল নয় কেন?
আমরা জানি, মুক্তিবেগের সমীকরণ হলো $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$। এখানে $G$ হলো মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, $M$ হলো গ্রহের ভর এবং $R$ হলো গ্রহের ব্যাসার্ধ। এই সমীকরণে যে বস্তুটিকে নিক্ষেপ করা হচ্ছে তার ভরের ($m$) কোনো পদ নেই। অর্থাৎ মুক্তিবেগ কেবল গ্রহের ভর ও ব্যাসার্ধের ওপর নির্ভর করে, নিক্ষিপ্ত বস্তুর ভরের ওপর নয়।

(গ) চিত্রের Q বিন্দুতে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান নির্ণয় কর।
দেওয়া আছে,
ভূপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g = 9.8 ms^{-2}$
উচ্চতা, $h = R/2$ (যেখানে $R$ পৃথিবীর ব্যাসার্ধ)

আমরা জানি, ভূপৃষ্ঠ হতে $h$ উচ্চতায় অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g_h = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$
$g_h = 9.8 \times \left( \frac{R}{R + R/2} \right)^2$
$g_h = 9.8 \times \left( \frac{R}{1.5R} \right)^2$
$g_h = 9.8 \times \left( \frac{1}{1.5} \right)^2$
$g_h = 9.8 \times \frac{1}{2.25} \approx 4.355 ms^{-2}$
Q বিন্দুতে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান $4.355 ms^{-2}$।

(ঘ) 5 kg ভরের বস্তুর জন্য যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ওজনের তুলনা গাণিতিকভাবে যাচাই কর।
ওজন, $W = mg$

১. P বিন্দুতে (ভূপৃষ্ঠে) ওজন ($W_P$):
এখানে $g = 9.8 ms^{-2}$ এবং $m = 5 kg$
$\therefore W_P = 5 \times 9.8 = 49 N$

২. Q বিন্দুতে ($h = R/2$ উচ্চতায়) ওজন ($W_Q$):
(গ) হতে প্রাপ্ত, $g_Q = 4.355 ms^{-2}$
$\therefore W_Q = 5 \times 4.355 = 21.775 N$

৩. ওজনের তুলনা:
$\frac{W_P}{W_Q} = \frac{49}{21.775} \approx 2.25$
$\therefore W_P = 2.25 \times W_Q$

গাণিতিক বিশ্লেষণ: দেখা যাচ্ছে যে, ভূপৃষ্ঠে (P বিন্দুতে) বস্তুর ওজন Q বিন্দুর ওজনের তুলনায় ২.২৫ গুণ বেশি। অর্থাৎ ভূপৃষ্ঠ থেকে উপরে ওঠার ফলে অভিকর্ষজ ত্বরণ কমে যাওয়ায় বস্তুর ওজন উল্লেখযোগ্যভাবে হ্রাস পেয়েছে।