(ক) অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা লেখ।
প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টরের সাহায্যে প্রকাশ করা হয়, তাকে অবস্থান ভেক্টর বলে।

(খ) ভেক্টর যোগের সামান্তরিক সূত্র বিনিময় সূত্র মেনে চলে—ব্যাখ্যা কর।
ভেক্টর যোগের বিনিময় সূত্র হলো $\vec{P} + \vec{Q} = \vec{Q} + \vec{P}$। সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত বাহু $\vec{P}$ ও $\vec{Q}$ হলে, এদের লব্ধি কর্ণ বরাবর কাজ করে। ত্রিভুজ সূত্র অনুযায়ী, এক দিক থেকে যোগ করলে লব্ধি হয় $\vec{P} + \vec{Q}$ এবং সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল হওয়ায় অন্য দিক থেকে যোগ করলেও একই লব্ধি $\vec{Q} + \vec{P}$ পাওয়া যায়। যেহেতু উভয় ক্ষেত্রে লব্ধির মান ও দিক অপরিবর্তিত থাকে, তাই এটি বিনিময় সূত্র মেনে চলে।

(গ) সোহেলের ক্ষেত্রে নৌকার বেগ ও স্রোতের বেগের লব্ধি বেগের মান নির্ণয় কর।
দেওয়া আছে,
স্রোতের বেগ, $u = 4 kmh^{-1}$
সোহেলের নৌকার বেগ, $v = 8 kmh^{-1}$
সময়, $t = 10 \text{ min} = \frac{10}{60} \text{ h} = \frac{1}{6} \text{ h}$
সোহেল AB বরাবর চালিয়ে সরাসরি প্রস্থ বরাবর D বিন্দুতে পৌঁছায়। অর্থাৎ লব্ধি বেগ ($w$) প্রস্থ AD বরাবর কাজ করে।

আমরা জানি, নৌকা সরাসরি ওপারে পৌঁছালে লব্ধি বেগ $w = \sqrt{v^2 - u^2}$
$w = \sqrt{8^2 - 4^2}$
$w = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48}$
$w \approx 6.928 kmh^{-1}$
সোহেলের ক্ষেত্রে নৌকার বেগ ও স্রোতের বেগের লব্ধি বেগের মান $6.928 kmh^{-1}$।

(ঘ) নদীর প্রস্থ AD ও স্রোতের দৈর্ঘ্য বরাবর অতিক্রান্ত দূরত্ব DC সমান হবে কি-না? গাণিতিক বিশ্লেষণপূর্বক মতামত দাও।

১. নদীর প্রস্থ AD নির্ণয়:
(গ) হতে প্রাপ্ত লব্ধি বেগ $w = 6.928 kmh^{-1}$ এবং সময় $t = \frac{1}{6} h$।
$\therefore AD = w \times t = 6.928 \times \frac{1}{6} \approx 1.155 km$

২. অতিক্রান্ত দূরত্ব DC নির্ণয়:
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, সোহেল AD (প্রস্থ) বরাবর $v' = 10 kmh^{-1}$ বেগে নৌকা চালায়।
এক্ষেত্রে স্রোতের সাথে নৌকার কোণ, $\alpha = 90^{\circ}$।
নদী পার হতে প্রয়োজনীয় সময়, $t' = \frac{AD}{v' \sin 90^{\circ}} = \frac{1.155}{10 \times 1} = 0.1155 h$
স্রোত বরাবর অতিক্রান্ত দূরত্ব, $DC = (\text{স্রোতের বেগ}) \times t'$
$DC = u \times t' = 4 \times 0.1155 = 0.462 km$

গাণিতিক বিশ্লেষণ: দেখা যাচ্ছে যে, নদীর প্রস্থ $AD \approx 1.155 km$ এবং স্রোত বরাবর অতিক্রান্ত দূরত্ব $DC \approx 0.462 km$।
যেহেতু $AD \neq DC$, তাই নদীর প্রস্থ ও স্রোত বরাবর অতিক্রান্ত দূরত্ব সমান হবে না।