(ক) অবস্থান ভেক্টর কাকে বলে?
প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে অন্য কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টরের সাহায্যে নির্ণয় করা হয়, তাকে অবস্থান ভেক্টর বলে।

(খ) দুইটি ভেক্টরের মান শূন্য না হলেও ডট গুণন শূন্য হতে পারে- ব্যাখ্যা কর।
দুটি ভেক্টরের স্কেলার বা ডট গুণফল তাদের মানের গুণফল এবং মধ্যবর্তী কোণের কোসাইনের গুণফলের সমান। অর্থাৎ, $\vec{A} \cdot \vec{B} = AB\cos\theta$। যদি ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হয় ($\theta = 90^\circ$), তবে $\cos 90^\circ = 0$ হয়। ফলে ভেক্টর দুটির মান শূন্য না হওয়া সত্ত্বেও তাদের ডট গুণফল শূন্য হয়।

(গ) $(-1, 1, 1)$ অবস্থানে $\vec{P}$ এর ডাইভারজেন্স নির্ণয় কর।
আমরা জানি, ডাইভারজেন্স $\text{\div } \vec{P} = \nabla \cdot \vec{P}$
এখানে, $\vec{P} = (9xy^2 + 5z)\hat{i} + (4y^2 + 2xz)\hat{j} + (3x^3 + 2y)\hat{k}$
$\nabla \cdot \vec{P} = \frac{\partial}{\partial x}(9xy^2 + 5z) + \frac{\partial}{\partial y}(4y^2 + 2xz) + \frac{\partial}{\partial z}(3x^3 + 2y)$
$= 9y^2 + 8y + 0$
$= 9y^2 + 8y$

$(-1, 1, 1)$ বিন্দুতে ডাইভারজেন্স:
$= 9(1)^2 + 8(1) = 9 + 8 = 17$
$\therefore$ নির্ণেয় ডাইভারজেন্স ১৭।

(ঘ) ভেক্টর $\vec{P}$ কী অঘূর্ণনশীল? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।
কোনো ভেক্টর অঘূর্ণনশীল হবে যদি তার কার্ল (Curl) শূন্য হয়। অর্থাৎ, $\nabla \times \vec{P} = 0$ হতে হবে।

$\nabla \times \vec{P} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 9xy^2+5z & 4y^2+2xz & 3x^3+2y \end{vmatrix}$

$\hat{i}$ এর সহগ $= \frac{\partial}{\partial y}(3x^3 + 2y) - \frac{\partial}{\partial z}(4y^2 + 2xz) = 2 - 2x$
$\hat{j}$ এর সহগ $= \frac{\partial}{\partial z}(9xy^2 + 5z) - \frac{\partial}{\partial x}(3x^3 + 2y) = 5 - 9x^2$
$\hat{k}$ এর সহগ $= \frac{\partial}{\partial x}(4y^2 + 2xz) - \frac{\partial}{\partial y}(9xy^2 + 5z) = 2z - 18xy$

$\therefore \nabla \times \vec{P} = (2-2x)\hat{i} + (5-9x^2)\hat{j} + (2z-18xy)\hat{k}$

দেখা যাচ্ছে যে, কার্ল $\nabla \times \vec{P} \neq 0$।
যেহেতু ভেক্টর ক্ষেত্রটির কার্ল একটি অশূন্য ভেক্টর, তাই $\vec{P}$ ভেক্টরটি অঘূর্ণনশীল নয় অর্থাৎ এটি ঘূর্ণনশীল।