একজন পদার্থবিদ পৃথিবীর ঘূর্ণনের সাথে অভিকর্ষজ ত্বরণ 'g' এর সম্পর্ক স্থাপনের জন্য $70$ kg ভরের একটি বস্তুকে ভূ-পৃষ্ঠে $70^\circ$ উত্তর অক্ষাংশে রাখলেন। পৃথিবীর নিজ অক্ষে $24$ ঘণ্টায় একবার আবর্তন করে। ($M = 6 \times 10^{24}$ kg, $R = 6.4 \times 10^6$ m, $G = 6.673 \times 10^{-11}$ Nm$^2$kg$^{-2}$, $g = 9.77$ ms$^{-2}$)

Barisal • 2024

ক) মহাকর্ষীয় বিভব কাকে বলে?

খ) চন্দ্র ও পৃথিবীর মধ্যে কোন ক্ষেত্রে মুক্তিবেগ বেশি? ব্যাখ্যা কর।

গ) পৃথিবী ঘূর্ণনের জন্য $70^\circ$ উত্তর অক্ষাংশে বস্তুটির রৈখিক বেগ কত?

ঘ) আবর্তনজনিত কারণে উদ্দীপকে উল্লিখিত স্থানে বস্তুটির ওজন বাড়বে না কমবে গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।

(ক) মহাকর্ষীয় বিভব কাকে বলে?
অসীম দূরত্ব থেকে একক ভরের কোনো বস্তুকে মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রের কোনো বিন্দুতে আনতে মহাকর্ষীয় বল দ্বারা যে পরিমাণ কাজ সম্পন্ন হয়, তাকে ওই বিন্দুর মহাকর্ষীয় বিভব বলে।

(খ) চন্দ্র ও পৃথিবীর মধ্যে কোন ক্ষেত্রে মুক্তিবেগ বেশি? ব্যাখ্যা কর।
পৃথিবীর ক্ষেত্রে মুক্তিবেগ বেশি। আমরা জানি, মুক্তিবেগ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$। অর্থাৎ মুক্তিবেগ বস্তুর ভর ($M$) এবং ব্যাসার্ধের ($R$) ওপর নির্ভর করে। পৃথিবীর ভর ও ঘনত্ব চাঁদের তুলনায় অনেক বেশি হওয়ায় পৃথিবীর অভিকর্ষজ ত্বরণ এবং মহাকর্ষীয় টানও অনেক বেশি। ফলে পৃথিবী থেকে কোনো বস্তুকে মুক্ত করতে চাঁদের তুলনায় অনেক বেশি বেগের (পৃথিবীতে ১১.২ $kms^{-1}$ এবং চাঁদে ২.৪ $kms^{-1}$) প্রয়োজন হয়।

(গ) পৃথিবী ঘূর্ণনের জন্য $70^\circ$ উত্তর অক্ষাংশে বস্তুটির রৈখিক বেগ কত?
এখানে,
অক্ষাংশ, $\lambda = 70^\circ$
ব্যাসার্ধ, $R = 6.4 \times 10^6$ m
পর্যায়কাল, $T = 24$ ঘণ্টা = $24 \times 3600 = 86400$ s
কৌণিক বেগ, $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{86400} \approx 7.272 \times 10^{-5}$ rad/s

আমরা জানি, $\lambda$ অক্ষাংশে ঘূর্ণন ব্যাসার্ধ, $r = R\cos\lambda$
$\therefore$ রৈখিক বেগ, $v = \omega r = \omega R \cos\lambda$
বা, $v = (7.272 \times 10^{-5}) \times (6.4 \times 10^6) \times \cos 70^\circ$
বা, $v = 465.408 \times 0.342$
বা, $v \approx 159.18$ m/s
$\therefore$ বস্তুটির রৈখিক বেগ ১৫৯.১৮ m/s।

(ঘ) আবর্তনজনিত কারণে উদ্দীপকে উল্লিখিত স্থানে বস্তুটির ওজন বাড়বে না কমবে গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।
আবর্তনজনিত কারণে কোনো স্থানে অভিকর্ষজ ত্বরণ হ্রাস পায়, যা ওজনের ওপর প্রভাব ফেলে।

$\lambda$ অক্ষাংশে কার্যকর অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g' = g - \omega^2 R \cos^2\lambda$
এখানে, $\omega^2 R = (7.272 \times 10^{-5})^2 \times (6.4 \times 10^6) \approx 0.0338$ $ms^{-2}$
$\cos^2 70^\circ = (0.342)^2 \approx 0.117$

$\therefore g' = 9.77 - (0.0338 \times 0.117)$
বা, $g' = 9.77 - 0.00395$
বা, $g' = 9.766$ $ms^{-2}$

ওজন বিশ্লেষণ:
পৃথিবী স্থির থাকলে বস্তুর ওজন হতো, $W = mg = 70 \times 9.77 = 683.9$ N
আবর্তনের কারণে বর্তমান ওজন, $W' = mg' = 70 \times 9.766 = 683.62$ N

গাণিতিক বিশ্লেষণ:
দেখা যাচ্ছে যে, $W' < W$। পৃথিবীর আহ্নিক গতির কারণে কেন্দ্রবিমুখী বল সৃষ্টি হওয়ায় কার্যকর অভিকর্ষজ ত্বরণ কিছুটা হ্রাস পায়। ফলে উদ্দীপকের স্থানে বস্তুটির ওজন কমবে। তবে অক্ষাংশের মান বেশি ($70^\circ$) হওয়ায় এই হ্রাসের পরিমাণ খুবই সামান্য (০.২৮ N)।

সমাধান (Solution)