(ক) কার্ল এর সংজ্ঞা দাও।
কোনো ভেক্টর ডিফারেনশিয়াল অপারেটরের ($\nabla$) সাথে একটি ভেক্টর ক্ষেত্রের ভেক্টর গুণফলকে ওই ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল বলে। এটি ভেক্টর ক্ষেত্রের ঘূর্ণন নির্দেশ করে।

(খ) r⃗ = 5î + 3ĵ একটি সীমাবদ্ধ ভেক্টর— ব্যাখ্যা কর।
যে ভেক্টরের পাদবিন্দু স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার মূলবিন্দুতে আবদ্ধ থাকে, তাকে সীমাবদ্ধ ভেক্টর বলে। উদ্দীপকের $\vec{r} = 5\hat{i} + 3\hat{j}$ ভেক্টরটি একটি অবস্থান ভেক্টর। যেহেতু অবস্থান ভেক্টরের পাদবিন্দু সর্বদা মূলবিন্দু (0, 0) তেই স্থির থাকে এবং একে ইচ্ছামতো স্থানান্তর করা যায় না, তাই এটি একটি সীমাবদ্ধ ভেক্টর।

(গ) A হতে সোজা অপর পাড়ের B বিন্দুতে পৌঁছাতে হলে নৌকাটিকে কোন দিকে চালনা করতে হবে?
এখানে,
নৌকার বেগ $u$ এবং স্রোতের বেগ $v$।
স্রোতের অনুকূলে, $u + v = 20$
স্রোতের প্রতিকূলে, $u - v = 10$
সমীকরণ দুটি যোগ করে পাই, $2u = 30 \Rightarrow u = 15$ $kmh^{-1}$
এবং $v = 20 - 15 = 5$ $kmh^{-1}$

সোজা অপর পাড়ে পৌঁছাতে হলে লব্ধি বেগকে স্রোতের সাথে $90^\circ$ কোণে থাকতে হবে।
ধরি, নৌকাটি স্রোতের সাথে $\alpha$ কোণে রওনা দেয়।
আমরা জানি, $\cos\alpha = -\frac{v}{u}$
বা, $\cos\alpha = -\frac{5}{15} = -\frac{1}{3}$
বা, $\alpha = \cos^{-1}(-\frac{1}{3}) \approx 109.47^\circ$
$\therefore$ নৌকাটিকে স্রোতের সাথে ১০৯.৪৭$^\circ$ কোণে অর্থাৎ স্রোতের বিপরীতে চালনা করতে হবে।

(ঘ) নদী পার হওয়ার জন্য নৌকাটি যদি A বিন্দু হতে সোজাসুজি রওনা করত তাহলে নদী পার হতে পূর্বের চেয়ে সময় কম না বেশি লাগত? গাণিতিক বিশ্লেষণ করে মতামত দাও।
নদী পার হতে প্রয়োজনীয় সময়, $t = \frac{d}{u\sin\alpha}$।

পূর্বের ক্ষেত্রে (গ হতে প্রাপ্ত):
কোণ, $\alpha_1 = 109.47^\circ$
নদীর বিস্তার, $d = 2$ km
সময়, $t_1 = \frac{2}{15\sin 109.47^\circ} = \frac{2}{15 \times 0.9428} \approx 0.1414$ h $\approx 8.48$ min

পরবর্তী ক্ষেত্রে:
নৌকাটি সোজাসুজি রওনা করলে, $\alpha_2 = 90^\circ$
সময়, $t_2 = \frac{2}{15\sin 90^\circ} = \frac{2}{15 \times 1} \approx 0.1333$ h $\approx 8$ min

গাণিতিক বিশ্লেষণ ও মতামত:
হিসাব থেকে দেখা যায় যে, $t_2 < t_1$। সোজাসুজি রওনা করলে বেগের সম্পূর্ণ উপাংশ নদী পার হতে ব্যবহৃত হয়, তাই সময় সর্বনিম্ন লাগে। সুতরাং, সোজাসুজি রওনা করলে নদী পার হতে পূর্বের চেয়ে কম সময় লাগত।