(ক) পার্কিং কক্ষপথ কাকে বলে?
যে বৃত্তাকার কক্ষপথে কোনো কৃত্রিম উপগ্রহের আবর্তনকাল পৃথিবীর আহ্নিক গতির পর্যায়কালের (২৪ ঘণ্টা) সমান হয়, তাকে পার্কিং কক্ষপথ বলে।

(খ) ইস্পাতের কাঠিন্যের গুণাঙ্ক $7.8 \times 10^{10}$ $Nm^{-2}$ বলতে কী বোঝ?
ইস্পাতের কাঠিন্যের গুণাঙ্ক $7.8 \times 10^{10}$ $Nm^{-2}$ বলতে বোঝায়, ইস্পাতের তৈরি কোনো বস্তুর আকারের বিকৃতি ১ একক ঘটাতে এর প্রতি বর্গমিটার প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফলে $7.8 \times 10^{10}$ নিউটন স্পর্শকীয় বল বা কৃন্তন পীড়ন প্রয়োগ করতে হবে।

(গ) পৃথিবীর কেন্দ্র হতে উপগ্রহটি কত উচ্চতায় অবস্থান করছিল নির্ণয় কর।
এখানে,
পর্যায়কাল, $T = 12$ ঘণ্টা = $12 \times 3600 = 43200$ s
পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, $R = 6400$ km = $6.4 \times 10^6$ m
অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g = 9.8$ $ms^{-2}$

আমরা জানি, $g = \frac{GM}{R^2} \Rightarrow GM = gR^2$
উপগ্রহের উচ্চতা $h$ হলে, $T = 2\pi \sqrt{\frac{(R+h)^3}{gR^2}}$
বা, $T^2 = \frac{4\pi^2 (R+h)^3}{gR^2}$
বা, $(R+h)^3 = \frac{T^2 gR^2}{4\pi^2}$
বা, $(R+h)^3 = \frac{(43200)^2 \times 9.8 \times (6.4 \times 10^6)^2}{4 \times (3.1416)^2}$
বা, $(R+h)^3 = \frac{1.866 \times 10^9 \times 9.8 \times 4.096 \times 10^{13}}{39.478}$
বা, $(R+h)^3 \approx 1.895 \times 10^{22}$
বা, $R+h = \sqrt[3]{1.895 \times 10^{22}} \approx 2.666 \times 10^7$ m
$\therefore$ কেন্দ্র হতে উচ্চতা, $r = R+h = 26660$ km
অর্থাৎ, উপগ্রহটি পৃথিবীর কেন্দ্র হতে ২৬৬৬০ কিমি উচ্চতায় অবস্থান করছিল।

(ঘ) উচ্চতার পরিবর্তন না করে উপগ্রহটিকে কত বেগ প্রদান করলে এটি ভূ-স্থির উপগ্রহে পরিণত হবে— গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।
উপগ্রহটিকে ভূ-স্থির করতে হলে এর আবর্তনকাল ২৪ ঘণ্টা করতে হবে। তবে উদ্দীপকের শর্ত অনুযায়ী উচ্চতা ($h$) স্থির রাখতে হবে। উচ্চতা স্থির রেখে আবর্তনকাল পরিবর্তনের জন্য উপগ্রহটির কক্ষীয় বেগের পরিবর্তন প্রয়োজন।

গ অংশ হতে প্রাপ্ত কেন্দ্র হতে উচ্চতা, $r = 2.666 \times 10^7$ m
বর্তমানে উপগ্রহটির বেগ, $v_1 = \frac{2\pi r}{T_1} = \frac{2 \times 3.1416 \times 2.666 \times 10^7}{43200}$
বা, $v_1 \approx 3877.46$ $ms^{-1}$

ভূ-স্থির উপগ্রহ হতে হলে আবর্তনকাল হতে হবে, $T_2 = 24$ ঘণ্টা = $86400$ s
$\therefore$ নতুন প্রয়োজনীয় বেগ, $v_2 = \frac{2\pi r}{T_2} = \frac{2 \times 3.1416 \times 2.666 \times 10^7}{86400}$
বা, $v_2 \approx 1938.73$ $ms^{-1}$

বেগের পরিবর্তন $\Delta v = v_1 - v_2 = 3877.46 - 1938.73 = 1938.73$ $ms^{-1}$

গাণিতিক বিশ্লেষণ:
হিসাব অনুযায়ী, উচ্চতা স্থির রেখে উপগ্রহটিকে ভূ-স্থির উপগ্রহে পরিণত করতে হলে এর বর্তমান বেগ থেকে ১৯৩৮.৭৩ $ms^{-1}$ বেগ হ্রাস করতে হবে। অর্থাৎ উপগ্রহটিকে ১৯৩৮.৭৩ $ms^{-1}$ বেগে চালনা করতে হবে।