ক) নাল ভেক্টর কী?
যে ভেক্টরের মান শূন্য তাকে নাল ভেক্টর বা শূন্য ভেক্টর বলে। এর আদিবিন্দু ও শেষবিন্দু একই অবস্থানে থাকে বলে এর কোনো নির্দিষ্ট দিক নেই।

খ) কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স-এর ভৌত তাৎপর্য ব্যাখ্যা কর।
কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স একটি স্কেলার রাশি যা নির্দেশ করে যে কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুর চারপাশে ভেক্টর ক্ষেত্রটি কি প্রসারিত হচ্ছে নাকি সংকুচিত হচ্ছে। কোনো বিন্দুতে ডাইভারজেন্স ধনাত্মক হলে বোঝায় ওই বিন্দু থেকে ফ্লাক্স বাইরের দিকে নির্গত হচ্ছে (উৎস হিসেবে কাজ করে)। ডাইভারজেন্স ঋণাত্মক হলে বোঝায় ওই বিন্দুতে ফ্লাক্স এসে মিলিত হচ্ছে (সিঙ্ক হিসেবে কাজ করে)। আর ডাইভারজেন্স শূন্য হলে ওই ক্ষেত্রকে সলিনয়ডাল বলা হয়, অর্থাৎ যতটুকু ফ্লাক্স প্রবেশ করে ঠিক ততটুকুই বের হয়ে যায়।

গ) $\vec{P}$ ও ধনাত্মক $x$-অক্ষের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।
এখানে,
$\vec{P} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$
ধনাত্মক $x$-অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর, $\hat{i} = 1\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$
ধরি, মধ্যবর্তী কোণ $\theta$।

আমরা জানি,
$\cos\theta = \frac{\vec{P} \cdot \hat{i}}{|\vec{P}| |\hat{i}|}$
এখানে, $\vec{P} \cdot \hat{i} = (2 \times 1) + (2 \times 0) + (-1 \times 0) = 2$
$|\vec{P}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$
$|\hat{i}| = 1$

অতএব,
$\cos\theta = \frac{2}{3 \times 1} = \frac{2}{3}$
$\Rightarrow \theta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$
$\Rightarrow \theta \approx 48.19^{\circ}$
$\vec{P}$ ও ধনাত্মক $x$-অক্ষের মধ্যবর্তী কোণ ৪৮.১৯°।

ঘ) $a$ এর সম্ভাব্য কোনো মানের জন্য ভেক্টরদ্বয়ের স্কেলার গুণফল ও ভেক্টর গুণফলের মান সমান হবে কি? গাণিতিক বিশ্লেষণসহ মতামত দাও।
এখানে,
$\vec{P} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$
$\vec{Q} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + a\hat{k}$

শর্তানুসারে, $|\vec{P} \cdot \vec{Q}| = |\vec{P} \times \vec{Q}|$
$\Rightarrow |\vec{P}| |\vec{Q}| \cos\theta = |\vec{P}| |\vec{Q}| \sin\theta$
$\Rightarrow \tan\theta = 1$
$\Rightarrow \theta = 45^{\circ}$
অর্থাৎ ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ হতে হবে ৪৫°।

আমরা জানি,
$\cos 45^{\circ} = \frac{\vec{P} \cdot \vec{Q}}{|\vec{P}| |\vec{Q}|}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{(2 \times 2) + (2 \times 2) + (-1 \times a)}{3 \times \sqrt{2^2 + 2^2 + a^2}}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{4 + 4 - a}{3 \times \sqrt{8 + a^2}}$
$\Rightarrow 3\sqrt{8 + a^2} = \sqrt{2}(8 - a)$

উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই:
$9(8 + a^2) = 2(64 - 16a + a^2)$
$\Rightarrow 72 + 9a^2 = 128 - 32a + 2a^2$
$\Rightarrow 7a^2 + 32a - 56 = 0$

দ্বিঘাত সমীকরণের সাহায্যে $a$ এর মান:
$a = \frac{-32 \pm \sqrt{32^2 - 4 \times 7 \times (-56)}}{2 \times 7}$
$\Rightarrow a = \frac{-32 \pm \sqrt{1024 + 1568}}{14}$
$\Rightarrow a = \frac{-32 \pm \sqrt{2592}}{14}$
$\Rightarrow a \approx \frac{-32 \pm 50.91}{14}$

$\therefore a_1 \approx 1.35$ অথবা $a_2 \approx -5.92$

মতামত:
গাণিতিক বিশ্লেষণ হতে দেখা যায় যে, $a$ এর মান প্রায় ১.৩৫ বা -৫.৯২ হলে ভেক্টরদ্বয়ের স্কেলার গুণফল ও ভেক্টর গুণফলের মান সমান হবে।