ক) কৃত্রিম উপগ্রহ কাকে বলে?
বৈজ্ঞানিক প্রক্রিয়ায় মহাকাশে প্রেরিত যেসব বস্তু নির্দিষ্ট কক্ষপথে পৃথিবীকে কেন্দ্র করে আবর্তন করে, তাদের কৃত্রিম উপগ্রহ বলে।

খ) পৃথিবীর কেন্দ্রে বস্তুর ভরকেন্দ্র ও ভারকেন্দ্র দুটোই পাওয়া যাবে কি-না? ব্যাখ্যা কর।
পৃথিবীর কেন্দ্রে বস্তুর ভরকেন্দ্র পাওয়া গেলেও কার্যকর ভারকেন্দ্র পাওয়া যাবে না। কোনো বস্তুর ভরকেন্দ্র হলো সেই বিন্দু যেখানে বস্তুটির সমস্ত ভর পুঞ্জীভূত থাকে বলে মনে হয়; এটি বস্তুর অবস্থানের ওপর নির্ভর করে না। অন্যদিকে, ভারকেন্দ্র হলো সেই বিন্দু যার মধ্য দিয়ে বস্তুটির ওজন ক্রিয়া করে। পৃথিবীর কেন্দ্রে অভিকর্ষজ ত্বরণ $g = 0$ হওয়ায় বস্তুর ওজন শূন্য হয়। ভারকেন্দ্র সংজ্ঞায়িত হওয়ার জন্য ওজন থাকা আবশ্যক, যেহেতু কেন্দ্রে ওজন নেই, তাই সেখানে সুনির্দিষ্ট ভারকেন্দ্র পাওয়া সম্ভব নয়।

গ) A বিন্দুতে মহাকর্ষীয় প্রাবল্য নির্ণয় কর।
উদ্দীপক অনুসারে, A বিন্দুটি পৃথিবীর পৃষ্ঠে অবস্থিত।
এখানে,
পৃথিবীর ভর, $M = 6 \times 10^{24}$ kg
পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, $R = 6400$ km $= 6.4 \times 10^6$ m
মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, $G = 6.67 \times 10^{-11}$ $Nm^2 kg^{-2}$

আমরা জানি, ভূ-পৃষ্ঠে মহাকর্ষীয় প্রাবল্য ($E$):
$E = \frac{GM}{R^2}$
$\Rightarrow E = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{(6.4 \times 10^6)^2}$
$\Rightarrow E = \frac{4.002 \times 10^{14}}{4.096 \times 10^{13}}$
$\Rightarrow E \approx 9.77$ $N/kg$
অতএব, A বিন্দুতে মহাকর্ষীয় প্রাবল্য ৯.৭৭ $N/kg$।

ঘ) কোন অবস্থানে উপগ্রহটি স্থির হবে? গাণিতিকভবে বিশ্লেষণ করে মতামত দাও।
কোনো অবস্থানে উপগ্রহটি 'স্থির' মনে হওয়ার অর্থ হলো সেটি একটি ভূ-স্থির উপগ্রহ (Geostationary Satellite)। ভূ-স্থির উপগ্রহের ক্ষেত্রে এর আবর্তনকাল পৃথিবীর নিজ অক্ষের আবর্তনকালের ($T = 24$ h) সমান হতে হয় এবং ভূ-পৃষ্ঠ থেকে একটি নির্দিষ্ট উচ্চতায় আবর্তন করতে হয়।

আমরা জানি, ভূ-স্থির উপগ্রহের উচ্চতা ($h$):
$h = \left( \frac{GMT^2}{4\pi^2} \right)^{1/3} - R$
এখানে, $T = 24$ h $= 86400$ s
$\Rightarrow h = \left( \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24} \times (86400)^2}{4 \times (3.1416)^2} \right)^{1/3} - 6.4 \times 10^6$
$\Rightarrow h \approx 42226910 - 6400000$
$\Rightarrow h \approx 35826910$ m $\approx 35827$ km

উদ্দীপক অনুযায়ী:
B অবস্থানের উচ্চতা, $h_B = 600$ km
C অবস্থানের উচ্চতা, $h_C = (600 + 250)$ km $= 850$ km

গাণিতিক বিশ্লেষণ ও সিদ্ধান্ত:
গাণিতিক হিসাব অনুযায়ী, পৃথিবীকে কেন্দ্র করে কোনো উপগ্রহকে স্থির অবস্থায় দেখতে হলে তাকে ভূ-পৃষ্ঠ থেকে প্রায় ৩৫,৮২৭ কিমি উচ্চতায় আবর্তন করতে হবে। কিন্তু উদ্দীপকে উপগ্রহটির উচ্চতা B অবস্থানে ৬০০ কিমি এবং C অবস্থানে ৮৫০ কিমি। যেহেতু কোনো অবস্থানের উচ্চতাই ভূ-স্থির উপগ্রহের প্রয়োজনীয় উচ্চতার ধারেকাছেও নেই, সেহেতু উদ্দীপকের উপগ্রহটি কোনো অবস্থানেই স্থির হবে না।