ক) আধানের কোয়ান্টায়ন কী?
প্রকৃতিতে প্রাপ্ত যেকোনো আধানের পরিমাণ একটি ইলেকট্রনের আধানের পূর্ণসংখ্যার গুণিতক হওয়ার প্রক্রিয়াকে আধানের কোয়ান্টায়ন বলে।

খ) সমান্তরাল পাত ধারকের অভ্যন্তরে তড়িৎ প্রাবল্য সুষম হয় কেন? ব্যাখ্যা কর।
সমান্তরাল পাত ধারকের পাতদ্বয় পরস্পর খুব কাছাকাছি এবং সমান্তরাল থাকে। পাতদ্বয়ের মাঝখানে বলরেখাগুলো পরস্পর সমান্তরাল এবং সমদূরবর্তী হয়। যেহেতু বলরেখার ঘনত্ব বা সজ্জার কোনো পরিবর্তন ঘটে না এবং বলরেখাগুলো পাতের লম্বালম্বিভাবে এক পাত থেকে অন্য পাতে যায়, তাই ধারকের অভ্যন্তরীণ সকল বিন্দুতে তড়িৎ প্রাবল্যের মান ও দিক একই থাকে। অর্থাৎ প্রাবল্য সুষম হয়।

গ) P বিন্দুতে বিভবের মান কত?
এখানে,
A বিন্দুর চার্জ, $q_A = +3 \times 10^{-9}$ C
B বিন্দুর চার্জ, $q_B = -5 \times 10^{-9}$ C
D বিন্দুর চার্জ, $q_D = -3 \times 10^{-9}$ C
বাহুর দৈর্ঘ্য, $a = 12$ cm $= 0.12$ m
P হলো BD এর মধ্যবিন্দু, তাই $BP = DP = \frac{0.12}{2} = 0.06$ m

সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা, $AP = \sqrt{a^2 - (a/2)^2} = \sqrt{0.12^2 - 0.06^2}$
$\Rightarrow AP = \sqrt{0.0144 - 0.0036} = \sqrt{0.0108} \approx 0.1039$ m

P বিন্দুতে মোট বিভব, $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{q_A}{AP} + \frac{q_B}{BP} + \frac{q_D}{DP} \right)$
$\Rightarrow V = 9 \times 10^9 \times \left( \frac{3 \times 10^{-9}}{0.1039} + \frac{-5 \times 10^{-9}}{0.06} + \frac{-3 \times 10^{-9}}{0.06} \right)$
$\Rightarrow V = 9 \times \left( 28.873 - 83.333 - 50 \right)$
$\Rightarrow V = 9 \times \left( -104.46 \right)$
$\Rightarrow V \approx -940.14$ V
অতএব, P বিন্দুতে বিভবের মান $-940.14$ V।

ঘ) P বিন্দুতে কত চার্জ স্থাপন করা হলে A বিন্দুতে রক্ষিত চার্জিত বস্তুটি স্থির থাকবে— গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণের মাধ্যমে যাচাই কর।
A বিন্দুতে রক্ষিত চার্জটি স্থির থাকতে হলে তার ওপর নিট বল শূন্য হতে হবে।
B বিন্দুর চার্জ ($q_B$) দ্বারা A বিন্দুর ওপর আকর্ষণ বল (AB অভিমুখে), $F_B = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{|q_A \cdot q_B|}{a^2}$
$\Rightarrow F_B = 9 \times 10^9 \frac{3 \times 10^{-9} \times 5 \times 10^{-9}}{(0.12)^2} \approx 9.375 \times 10^{-6}$ N

D বিন্দুর চার্জ ($q_D$) দ্বারা A বিন্দুর ওপর আকর্ষণ বল (AD অভিমুখে), $F_D = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{|q_A \cdot q_D|}{a^2}$
$\Rightarrow F_D = 9 \times 10^9 \frac{3 \times 10^{-9} \times 3 \times 10^{-9}}{(0.12)^2} = 5.625 \times 10^{-6}$ N

$F_B$ ও $F_D$ এর মধ্যবর্তী কোণ $\alpha = 60^{\circ}$। এদের লব্ধি বল $F_R$:
$F_R = \sqrt{F_B^2 + F_D^2 + 2F_BF_D\cos 60^{\circ}}$
$\Rightarrow F_R = \sqrt{(9.375)^2 + (5.625)^2 + 2(9.375)(5.625)(0.5)} \times 10^{-6}$
$\Rightarrow F_R = \sqrt{87.89 + 31.64 + 52.73} \times 10^{-6} \approx 13.125 \times 10^{-6}$ N

A বিন্দুতে আধানটি স্থির রাখতে হলে P বিন্দুতে এমন $q_P$ চার্জ স্থাপন করতে হবে যা $F_R$ এর সমান ও বিপরীত বল (PA অভিমুখে বিকর্ষণ বল) তৈরি করবে।
$\therefore \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_A \cdot q_P}{AP^2} = F_R$
$\Rightarrow 9 \times 10^9 \times \frac{3 \times 10^{-9} \cdot q_P}{0.0108} = 13.125 \times 10^{-6}$
$\Rightarrow 2500 \cdot q_P = 13.125 \times 10^{-6}$
$\Rightarrow q_P = \frac{13.125 \times 10^{-6}}{2500}$
$\Rightarrow q_P = 5.25 \times 10^{-9}$ C

গাণিতিক বিশ্লেষণে দেখা যায়, P বিন্দুতে $5.25 \times 10^{-9}$ C ধনাত্মক চার্জ স্থাপন করলে A বিন্দুর চার্জটি স্থির থাকবে।