ক) কাল দীর্ঘায়ন কাকে বলে?
পর্যবেক্ষকের সাপেক্ষে গতিশীল কোনো কাঠামোতে সময়ের ব্যবধান স্থির কাঠামোর তুলনায় বেশি মনে হওয়াকে কাল দীর্ঘায়ন বলে।

খ) কোনো বস্তু আলোর বেগে চলতে পারে না— ব্যাখ্যা কর।
আইনস্টাইনের আপেক্ষিকতা তত্ত্ব অনুসারে, গতিশীল বস্তুর ভর $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$। যদি কোনো বস্তু আলোর বেগে ($v = c$) চলে, তবে সমীকরণের হর শূন্য হয়ে যায় এবং বস্তুর গতিশীল ভর অসীম হয়ে পড়ে। কোনো বস্তুকে অসীম ভরের অবস্থায় নিতে অসীম শক্তির প্রয়োজন, যা বাস্তবে অসম্ভব। তাই কোনো বস্তুই আলোর বেগে চলতে পারে না।

গ) উদ্দীপকের ইলেকট্রনের মোট শক্তি নির্ণয় কর।
এখানে,
ইলেকট্রনের নিশ্চল ভর, $m_0 = 9.1 \times 10^{-31}$ kg
ইলেকট্রনের বেগ, $v = 0.98c$
আলোর বেগ, $c = 3 \times 10^8$ $ms^{-1}$

আমরা জানি, মোট শক্তি ($E_e$):
$E_e = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$
$\Rightarrow E_e = \frac{(9.1 \times 10^{-31}) \times (3 \times 10^8)^2}{\sqrt{1 - (0.98)^2}}$
$\Rightarrow E_e = \frac{8.19 \times 10^{-14}}{\sqrt{1 - 0.9604}}$
$\Rightarrow E_e = \frac{8.19 \times 10^{-14}}{\sqrt{0.0396}}$
$\Rightarrow E_e = \frac{8.19 \times 10^{-14}}{0.198997}$
$\Rightarrow E_e \approx 4.116 \times 10^{-13}$ J
অতএব, ইলেকট্রনের মোট শক্তি $4.116 \times 10^{-13}$ J।

ঘ) উদ্দীপকের প্রোটনের গতিশক্তি ইলেকট্রনের গতিশক্তির দ্বিগুণ হবে কি-না— গাণিতিকভাবে যাচাই কর।
এখানে,
ইলেকট্রন ও প্রোটনের বেগ সমান, $v = 0.98c$
আমরা জানি, গতিশক্তি $E_k = (m - m_0)c^2 = m_0 c^2 \left( \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1 \right)$

ধরি, $K = \left( \frac{1}{\sqrt{1 - (0.98)^2}} - 1 \right) = \left( \frac{1}{0.198997} - 1 \right) \approx 4.0252$

ইলেকট্রনের গতিশক্তি ($E_{ke}$):
$E_{ke} = m_{0e} c^2 \times K$
$\Rightarrow E_{ke} = (9.1 \times 10^{-31}) \times (3 \times 10^8)^2 \times 4.0252$
$\Rightarrow E_{ke} = 8.19 \times 10^{-14} \times 4.0252$
$\Rightarrow E_{ke} \approx 3.297 \times 10^{-13}$ J

প্রোটনের গতিশক্তি ($E_{kp}$):
প্রোটনের নিশ্চল ভর, $m_{0p} = 1.67 \times 10^{-27}$ kg
$E_{kp} = m_{0p} c^2 \times K$
$\Rightarrow E_{kp} = (1.67 \times 10^{-27}) \times (3 \times 10^8)^2 \times 4.0252$
$\Rightarrow E_{kp} = 1.503 \times 10^{-10} \times 4.0252$
$\Rightarrow E_{kp} \approx 6.05 \times 10^{-10}$ J

অনুপাত নির্ণয়:
$\frac{E_{kp}}{E_{ke}} = \frac{6.05 \times 10^{-10}}{3.297 \times 10^{-13}} \approx 1835$

মতামত:
গাণিতিক বিশ্লেষণ হতে দেখা যায় যে, প্রোটনের গতিশক্তি ইলেকট্রনের গতিশক্তির দ্বিগুণ নয়, বরং প্রায় ১৮৩৫ গুণ। এর কারণ হলো প্রোটনের নিশ্চল ভর ইলেকট্রনের নিশ্চল ভর অপেক্ষা অনেক বেশি। সুতরাং উদ্দীপকের ধারণাটি সঠিক নয়।