ক) ভরত্রুটি কী?
পরমাণুর নিউক্লিয়াসের প্রকৃত ভর এর অন্তর্ভুক্ত প্রোটন ও নিউট্রনগুলোর পৃথক ভরের সমষ্টি অপেক্ষা কিছুটা কম হয়। ভরের এই পার্থক্যকে ভরত্রুটি বলে।

খ) কোনো তেজস্ক্রিয় পদার্থের নিঃশেষকাল অসীম— ব্যাখ্যা কর।
তেজস্ক্রিয় ক্ষয়ের সূত্রানুসারে, $N = N_0 e^{-\lambda t}$। এখানে $N$ হলো অবশিষ্ট পরমাণুর সংখ্যা এবং $t$ হলো সময়। কোনো তেজস্ক্রিয় পদার্থ সম্পূর্ণ নিঃশেষ হওয়ার অর্থ হলো $N = 0$ হওয়া। সমীকরণ অনুযায়ী, $N$ এর মান কেবল তখনই শূন্য হওয়া সম্ভব যখন সময়ের মান $t = \infty$ হয়। অর্থাৎ তাত্ত্বিকভাবে একটি তেজস্ক্রিয় পদার্থের পুরোপুরি নিঃশেষ হতে অসীম সময়ের প্রয়োজন।

গ) N মৌলের গড় আয়ু বের কর।
এখানে,
N মৌলের অর্ধাযু, $T_{1/2} = 18$ দিন

আমরা জানি, অর্ধাযু ও গড় আয়ুর সম্পর্ক:
$\tau = \frac{T_{1/2}}{\ln(2)}$
$\Rightarrow \tau = \frac{18}{0.693}$
$\Rightarrow \tau \approx 25.97$ দিন
অতএব, N মৌলের গড় আয়ু ২৫.৯৭ দিন।

ঘ) উভয়ের 70% ক্ষয় হতে N মৌলের তুলনায় M মৌলের বেশি সময় লাগবে— গাণিতিকভাবে যাচাই কর।
এখানে,
M মৌলের অর্ধাযু, $T_{M} = 12$ দিন
N মৌলের অর্ধাযু, $T_{N} = 18$ দিন
উভয় মৌলের ক্ষয়ের পরিমাণ = ৭০%, অর্থাৎ অবশিষ্ট থাকে (১০০% - ৭০%) = ৩০% বা ০.৩ অংশ।

আমরা জানি, $N = N_0 e^{-\lambda t}$
$\Rightarrow \frac{N}{N_0} = e^{-\lambda t}$
$\Rightarrow \ln(\frac{N}{N_0}) = -\lambda t$
$\Rightarrow t = \frac{\ln(N_0/N)}{\lambda}$

যেহেতু $\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}}$, তাই $t = \frac{\ln(N_0/N) \times T_{1/2}}{0.693}$

M মৌলের ক্ষেত্রে সময় ($t_M$):
$t_M = \frac{\ln(1/0.3) \times 12}{0.693}$
$\Rightarrow t_M = \frac{1.204 \times 12}{0.693}$
$\Rightarrow t_M \approx 20.85$ দিন

N মৌলের ক্ষেত্রে সময় ($t_N$):
$t_N = \frac{\ln(1/0.3) \times 18}{0.693}$
$\Rightarrow t_N = \frac{1.204 \times 18}{0.693}$
$\Rightarrow t_N \approx 31.27$ দিন

গাণিতিক বিশ্লেষণ ও মতামত:
গাণিতিক হিসাব হতে দেখা যায় যে, M মৌলের ৭০% ক্ষয় হতে সময় লাগে ২০.৮৫ দিন এবং N মৌলের সময় লাগে ৩১.২৭ দিন। যেহেতু M মৌলের অর্ধাযু কম, তাই এর ক্ষয়ের হার বেশি এবং একই পরিমাণ ক্ষয় হতে এর কম সময় প্রয়োজন। সুতরাং উদ্দীপকের মন্তব্যটি (M মৌলের বেশি সময় লাগবে) সঠিক নয়; বরং N মৌলের বেশি সময় লাগবে।