ID#5906 HSC Physics 1st CQ (Dinajpur 2024)

(ক) পার্কিং কক্ষপথ কাকে বলে?
যে বৃত্তাকার কক্ষপথে কোনো কৃত্রিম উপগ্রহের আবর্তনকাল পৃথিবীর আহ্নিক গতির পর্যায়কালের (২৪ ঘণ্টা) সমান হয়, তাকে পার্কিং কক্ষপথ বলে।

(খ) ইস্পাতের কাঠিন্যের গুণাঙ্ক $7.8 \times 10^{10}$ $Nm^{-2}$ বলতে কী বোঝ?
ইস্পাতের কাঠিন্যের গুণাঙ্ক $7.8 \times 10^{10}$ $Nm^{-2}$ বলতে বোঝায়, ইস্পাতের তৈরি কোনো বস্তুর আকারের বিকৃতি ১ একক ঘটাতে এর প্রতি বর্গমিটার প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফলে $7.8 \times 10^{10}$ নিউটন স্পর্শকীয় বল বা কৃন্তন পীড়ন প্রয়োগ করতে হবে।

(গ) পৃথিবীর কেন্দ্র হতে উপগ্রহটি কত উচ্চতায় অবস্থান করছিল নির্ণয় কর।
এখানে,
পর্যায়কাল, $T = 12$ ঘণ্টা = $12 \times 3600 = 43200$ s
পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, $R = 6400$ km = $6.4 \times 10^6$ m
অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g = 9.8$ $ms^{-2}$

আমরা জানি, $g = \frac{GM}{R^2} \Rightarrow GM = gR^2$
উপগ্রহের উচ্চতা $h$ হলে, $T = 2\pi \sqrt{\frac{(R+h)^3}{gR^2}}$
বা, $T^2 = \frac{4\pi^2 (R+h)^3}{gR^2}$
বা, $(R+h)^3 = \frac{T^2 gR^2}{4\pi^2}$
বা, $(R+h)^3 = \frac{(43200)^2 \times 9.8 \times (6.4 \times 10^6)^2}{4 \times (3.1416)^2}$
বা, $(R+h)^3 = \frac{1.866 \times 10^9 \times 9.8 \times 4.096 \times 10^{13}}{39.478}$
বা, $(R+h)^3 \approx 1.895 \times 10^{22}$
বা, $R+h = \sqrt[3]{1.895 \times 10^{22}} \approx 2.666 \times 10^7$ m
$\therefore$ কেন্দ্র হতে উচ্চতা, $r = R+h = 26660$ km
অর্থাৎ, উপগ্রহটি পৃথিবীর কেন্দ্র হতে ২৬৬৬০ কিমি উচ্চতায় অবস্থান করছিল।

(ঘ) উচ্চতার পরিবর্তন না করে উপগ্রহটিকে কত বেগ প্রদান করলে এটি ভূ-স্থির উপগ্রহে পরিণত হবে— গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।
উপগ্রহটিকে ভূ-স্থির করতে হলে এর আবর্তনকাল ২৪ ঘণ্টা করতে হবে। তবে উদ্দীপকের শর্ত অনুযায়ী উচ্চতা ($h$) স্থির রাখতে হবে। উচ্চতা স্থির রেখে আবর্তনকাল পরিবর্তনের জন্য উপগ্রহটির কক্ষীয় বেগের পরিবর্তন প্রয়োজন।

গ অংশ হতে প্রাপ্ত কেন্দ্র হতে উচ্চতা, $r = 2.666 \times 10^7$ m
বর্তমানে উপগ্রহটির বেগ, $v_1 = \frac{2\pi r}{T_1} = \frac{2 \times 3.1416 \times 2.666 \times 10^7}{43200}$
বা, $v_1 \approx 3877.46$ $ms^{-1}$

ভূ-স্থির উপগ্রহ হতে হলে আবর্তনকাল হতে হবে, $T_2 = 24$ ঘণ্টা = $86400$ s
$\therefore$ নতুন প্রয়োজনীয় বেগ, $v_2 = \frac{2\pi r}{T_2} = \frac{2 \times 3.1416 \times 2.666 \times 10^7}{86400}$
বা, $v_2 \approx 1938.73$ $ms^{-1}$

বেগের পরিবর্তন $\Delta v = v_1 - v_2 = 3877.46 - 1938.73 = 1938.73$ $ms^{-1}$

গাণিতিক বিশ্লেষণ:
হিসাব অনুযায়ী, উচ্চতা স্থির রেখে উপগ্রহটিকে ভূ-স্থির উপগ্রহে পরিণত করতে হলে এর বর্তমান বেগ থেকে ১৯৩৮.৭৩ $ms^{-1}$ বেগ হ্রাস করতে হবে। অর্থাৎ উপগ্রহটিকে ১৯৩৮.৭৩ $ms^{-1}$ বেগে চালনা করতে হবে।