ক) $\tan 3\theta$ কে $\tan \theta$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

আমরা জানি,
$\tan 3\theta = \tan(2\theta + \theta)$
$=> \tan 3\theta = \frac{\tan 2\theta + \tan \theta}{1 - \tan 2\theta \cdot \tan \theta}$
$=> \tan 3\theta = \frac{\frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} + \tan \theta}{1 - \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} \cdot \tan \theta}$
$=> \tan 3\theta = \frac{2\tan \theta + \tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - \tan^2 \theta - 2\tan^2 \theta}$
$=> \tan 3\theta = \frac{3\tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3\tan^2 \theta}$

উত্তর: $\frac{3\tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3\tan^2 \theta}$



খ) দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে $\cos(x + y)$ এর মান $a$ ও $b$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

দেওয়া আছে,
$\cos x + \cos y = a \cdots\cdots (i)$
$\sin x + \sin y = b \cdots\cdots (ii)$

$(i)$ ও $(ii)$ নং সমীকরণকে বর্গ করে যোগ করি:
$(\cos x + \cos y)^2 + (\sin x + \sin y)^2 = a^2 + b^2$
$=> \cos^2 x + \cos^2 y + 2 \cos x \cos y + \sin^2 x + \sin^2 y + 2 \sin x \sin y = a^2 + b^2$
$=> (\cos^2 x + \sin^2 x) + (\cos^2 y + \sin^2 y) + 2(\cos x \cos y + \sin x \sin y) = a^2 + b^2$
$=> 1 + 1 + 2 \cos(x - y) = a^2 + b^2$
$=> 2 \cos(x - y) = a^2 + b^2 - 2$
$=> \cos(x - y) = \frac{a^2 + b^2 - 2}{2} \cdots\cdots (iii)$

আবার, $(ii)$ নং কে $(i)$ নং দ্বারা ভাগ করে পাই:
$\frac{2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}}{2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}} = \frac{b}{a}$
$=> \tan \frac{x+y}{2} = \frac{b}{a}$

আমরা জানি, $\cos(x + y) = \frac{1 - \tan^2 \frac{x+y}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x+y}{2}}$
$=> \cos(x + y) = \frac{1 - (\frac{b}{a})^2}{1 + (\frac{b}{a})^2}$
$=> \cos(x + y) = \frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2}$

উত্তর: $\frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2}$



গ) দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে প্রমাণ কর যে, $BC \cos C - BC \cos B = (AC - AB)(1 + \cos A)$।

ধরি, $\triangle ABC$ এর বাহুগুলো $BC = a, AC = b, AB = c$।
প্রমাণ করতে হবে: $a \cos C - a \cos B = (b - c)(1 + \cos A)$

বামপক্ষ $= a \cos C - a \cos B$
আমরা জানি, $a = b \cos C + c \cos B$ [প্রক্ষেপ সূত্র হতে পাই, $b \cos C = a - c \cos B$ এবং $c \cos B = a - b \cos C$]
এটি সরাসরি ব্যবহার না করে কোসাইন সূত্র ব্যবহার করি:
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ এবং $\cos B = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}$

বামপক্ষ $= a(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}) - a(\frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca})$
$= \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2b} - \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2c}$
$= \frac{c(a^2 + b^2 - c^2) - b(c^2 + a^2 - b^2)}{2bc}$
$= \frac{ca^2 + cb^2 - c^3 - bc^2 - ba^2 + b^3}{2bc}$
$= \frac{a^2(c - b) + (b^3 - c^3) + bc(b - c)}{2bc}$
$= \frac{(b - c)[-a^2 + b^2 + bc + c^2 + bc]}{2bc}$
$= \frac{(b - c)[b^2 + c^2 - a^2 + 2bc]}{2bc}$
$= (b - c) [\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} + \frac{2bc}{2bc}]$
$= (b - c) (\cos A + 1)$
$= (AC - AB)(1 + \cos A)$ (প্রমাণিত)




A
B
C

চিত্রটি একটি ত্রিভুজ ABC নির্দেশ করছে যার বাহু ও কোণের মধ্যে ত্রিকোণমিতিক সম্পর্ক গাণিতিক প্রমাণে ব্যবহৃত হয়েছে।