ক) কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য $3a, 5a$ ও $7a$ একক হলে ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণ নির্ণয় কর।

ধরি, ত্রিভুজটির বাহুত্রয় $x = 3a$, $y = 5a$ এবং $z = 7a$।
আমরা জানি, বৃহত্তম বাহুর বিপরীত কোণই বৃহত্তম কোণ। এখানে বৃহত্তম বাহু $z = 7a$।
ধরি, বৃহত্তম কোণ $C$। কোসাইন সূত্রানুসারে:

$\cos C = \frac{x^2 + y^2 - z^2}{2xy}$
$=> \cos C = \frac{(3a)^2 + (5a)^2 - (7a)^2}{2(3a)(5a)}$
$=> \cos C = \frac{9a^2 + 25a^2 - 49a^2}{30a^2}$
$=> \cos C = \frac{-15a^2}{30a^2}$
$=> \cos C = -\frac{1}{2}$
$=> \cos C = \cos 120^\circ$
$=> C = 120^\circ$

উত্তর: বৃহত্তম কোণ $120^\circ$



খ) $\phi(2x) \phi(4x) \phi(8x) \phi(14x)$ এর মান নির্ণয় কর, যখন $x = \frac{\pi}{15}$।

দেওয়া আছে, $\phi(x) = \cos x$
রাশিটি হলো: $\cos 2x \cos 4x \cos 8x \cos 14x$
যেখানে $x = \frac{\pi}{15}$ সেহেতু $15x = \pi$ এবং $14x = \pi - x$।

$\cos 14x = \cos(\pi - x) = -\cos x$
রাশিটি দাঁড়ায়: $-(\cos x \cos 2x \cos 4x \cos 8x)$

লব ও হরকে $2 \sin x$ দ্বারা গুণ করে পাই:
$=> -\frac{(2 \sin x \cos x) \cos 2x \cos 4x \cos 8x}{2 \sin x}$
$=> -\frac{(2 \sin 2x \cos 2x) \cos 4x \cos 8x}{2 \cdot 2 \sin x}$
$=> -\frac{(2 \sin 4x \cos 4x) \cos 8x}{4 \cdot 2 \sin x}$
$=> -\frac{2 \sin 8x \cos 8x}{8 \cdot 2 \sin x} = -\frac{\sin 16x}{16 \sin x}$

যেহেতু $16x = 15x + x = \pi + x$:
$=> -\frac{\sin(\pi + x)}{16 \sin x} = -\frac{-\sin x}{16 \sin x} = \frac{1}{16}$

উত্তর: $\frac{1}{16}$



গ) $p \phi(x) + q \phi(y) = r = p \phi(\frac{\pi}{2} - x) + q \phi(\frac{\pi}{2} - y)$ হলে দেখাও যে, $\phi(\frac{x - y}{2}) = \pm \sqrt{\frac{2r^2 - (p - q)^2}{4pq}}$।

দেওয়া আছে, $\phi(x) = \cos x$। উদ্দীপক হতে:
$p \cos x + q \cos y = r \cdots\cdots (i)$
$p \sin x + q \sin y = r \cdots\cdots (ii)$ [যেহেতু $\cos(\frac{\pi}{2}-\theta) = \sin \theta$]

$(i)$ ও $(ii)$ নং সমীকরণ বর্গ করে যোগ করি:
$(p \cos x + q \cos y)^2 + (p \sin x + q \sin y)^2 = r^2 + r^2$
$=> p^2 \cos^2 x + q^2 \cos^2 y + 2pq \cos x \cos y + p^2 \sin^2 x + q^2 \sin^2 y + 2pq \sin x \sin y = 2r^2$
$=> p^2(\cos^2 x + \sin^2 x) + q^2(\cos^2 y + \sin^2 y) + 2pq(\cos x \cos y + \sin x \sin y) = 2r^2$
$=> p^2 + q^2 + 2pq \cos(x - y) = 2r^2$

আমরা জানি, $\cos(x - y) = 2 \cos^2 \frac{x - y}{2} - 1$। মান বসিয়ে পাই:
$=> p^2 + q^2 + 2pq(2 \cos^2 \frac{x - y}{2} - 1) = 2r^2$
$=> p^2 + q^2 + 4pq \cos^2 \frac{x - y}{2} - 2pq = 2r^2$
$=> (p - q)^2 + 4pq \cos^2 \frac{x - y}{2} = 2r^2$ [যেহেতু $p^2 + q^2 - 2pq = (p - q)^2$]
$=> 4pq \cos^2 \frac{x - y}{2} = 2r^2 - (p - q)^2$
$=> \cos^2 \frac{x - y}{2} = \frac{2r^2 - (p - q)^2}{4pq}$
$=> \cos \frac{x - y}{2} = \pm \sqrt{\frac{2r^2 - (p - q)^2}{4pq}}$
$=> \phi(\frac{x - y}{2}) = \pm \sqrt{\frac{2r^2 - (p - q)^2}{4pq}}$ (দেখানো হলো)