ক) $\tan \theta = \frac{y}{x}$ হলে দেখাও যে, $x \cos 2\theta + y \sin 2\theta = x$।

বামপক্ষ $= x \cos 2\theta + y \sin 2\theta$
$= x \left( \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right) + y \left( \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right)$
$= x \left( \frac{1 - \frac{y^2}{x^2}}{1 + \frac{y^2}{x^2}} \right) + y \left( \frac{2 \cdot \frac{y}{x}}{1 + \frac{y^2}{x^2}} \right)$
$= x \left( \frac{\frac{x^2 - y^2}{x^2}}{\frac{x^2 + y^2}{x^2}} \right) + y \left( \frac{\frac{2y}{x}}{\frac{x^2 + y^2}{x^2}} \right)$
$= \frac{x(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2} + \frac{2xy^2}{x^2 + y^2}$
$= \frac{x^3 - xy^2 + 2xy^2}{x^2 + y^2}$
$= \frac{x^3 + xy^2}{x^2 + y^2}$
$= \frac{x(x^2 + y^2)}{x^2 + y^2}$
$= x$
(প্রমাণিত)

---

খ) দৃশ্যকল্প-১ ব্যবহার করে $AB$ দূরত্ব নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ থেকে পাই:
$OA = 12$ km
$ON' = 9$ km
$\angle ON'B = 45^\circ$
এবং $ON \parallel BN'$

যেহেতু $ON \perp ON'$ এবং $ON \parallel BN'$, সেহেতু $BN' \perp ON'$।
অর্থাৎ, $\triangle ON'B$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
$\tan 45^\circ = \frac{OB}{ON'}$
$=> 1 = \frac{OB}{9}$
$=> OB = 9$ km

আবার, $ON \parallel BN'$ হওয়ায় $\angle AOB = 90^\circ$।
$\triangle OAB$ এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই:
$AB^2 = OA^2 + OB^2$
$=> AB^2 = 12^2 + 9^2$
$=> AB^2 = 144 + 81$
$=> AB^2 = 225$
$=> AB = 15$ km

উত্তর: $15$ km

---

গ) $\frac{1}{T-m} + \frac{1}{T-l} = \frac{3}{T}$ হলে, দৃশ্যকল্প-২ এর ত্রিভুজের $R$ কোণ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-২ এ ত্রিভুজ $PQR$ এর বাহুগুলি $l, m, n$ এবং $T = l + m + n$।
এখানে $T$ হলো ত্রিভুজটির পরিসীমা।
দেওয়া আছে, $\frac{1}{T-m} + \frac{1}{T-l} = \frac{3}{T}$
$=> \frac{T-l + T-m}{(T-m)(T-l)} = \frac{3}{T}$
$=> \frac{2T - (l+m)}{T^2 - Tl - Tm + lm} = \frac{3}{T}$
$=> T(2T - (l+m)) = 3(T^2 - T(l+m) + lm)$
$=> 2T^2 - T(l+m) = 3T^2 - 3T(l+m) + 3lm$
$=> T^2 - 2T(l+m) + 3lm = 0$
$=> (l+m+n)^2 - 2(l+m+n)(l+m) + 3lm = 0$
$=> (l+m)^2 + 2n(l+m) + n^2 - 2(l+m)^2 - 2n(l+m) + 3lm = 0$
$=> -(l+m)^2 + n^2 + 3lm = 0$
$=> n^2 - (l^2 + 2lm + m^2) + 3lm = 0$
$=> n^2 - l^2 - m^2 + lm = 0$
$=> l^2 + m^2 - n^2 = lm$

আমরা জানি, কোসাইন সূত্রানুসারে:
$\cos R = \frac{l^2 + m^2 - n^2}{2lm}$
$=> \cos R = \frac{lm}{2lm}$
$=> \cos R = \frac{1}{2}$
$=> \cos R = \cos 60^\circ$
$=> R = 60^\circ$

উত্তর: $60^\circ$

চিত্রটিতে দৃশ্যকল্প-১ এর জ্যামিতিক অবস্থান এবং নির্ণীত AB দূরত্ব প্রদর্শিত হয়েছে।