ক) $x$ এর সাপেক্ষে $\log_a x$ এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

ধরি, $y = \log_a x$
আমরা জানি, $\log_a x = \log_a e \cdot \log_e x$
$=> y = \log_a e \cdot \ln x$

$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
$\frac{d}{dx}(y) = \log_a e \cdot \frac{d}{dx}(\ln x)$
$=> \frac{dy}{dx} = \log_a e \cdot \frac{1}{x}$
$=> \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \ln a}$

উত্তর: $\frac{1}{x \ln a}$



খ) দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে $1 + 2g(x) + 3[1 - \{g(x)\}^2 ]$ এর $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ ব্যবধিতে চরম মান নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে, $g(x) = \sin x$
ধরি, $f(x) = 1 + 2\sin x + 3(1 - \sin^2 x)$
$=> f(x) = 1 + 2\sin x + 3 - 3\sin^2 x$
$=> f(x) = 4 + 2\sin x - 3\sin^2 x$

অন্তরীকরণ করে পাই,
$f'(x) = 2\cos x - 6\sin x \cos x$
$=> f'(x) = 2\cos x(1 - 3\sin x)$

চরম মানের জন্য $f'(x) = 0$
$=> 2\cos x(1 - 3\sin x) = 0$
হয় $\cos x = 0 => x = \frac{\pi}{2}$ [ব্যবধির মধ্যে]
অথবা $1 - 3\sin x = 0 => \sin x = \frac{1}{3} => x = \sin^{-1}(\frac{1}{3})$

এখন ব্যবধির প্রান্তবিন্দু $x=0, x=\frac{\pi}{2}$ এবং সংকটবিন্দু $\sin x = \frac{1}{3}$ এ মান পরীক্ষা করি:
১. $x = 0$ হলে, $f(0) = 4 + 2(0) - 3(0)^2 = 4$
২. $x = \frac{\pi}{2}$ হলে, $f(\frac{\pi}{2}) = 4 + 2(1) - 3(1)^2 = 4 + 2 - 3 = 3$
৩. $\sin x = \frac{1}{3}$ হলে, $f(x) = 4 + 2(\frac{1}{3}) - 3(\frac{1}{3})^2 = 4 + \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{12+2-1}{3} = \frac{13}{3} = 4.33$

উত্তর: ব্যবধি অনুযায়ী গুরুমান $\frac{13}{3}$ এবং লঘুমান $3$।



গ) দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে প্রমাণ কর যে, $(1 + x^2 )^2 y_2 + 2(1 + x^2 )xy_1 = 1$।

দেওয়া আছে, $x = \tan \sqrt{2y}$
$=> \tan^{-1} x = \sqrt{2y}$
বর্গ করে পাই,
$(\tan^{-1} x)^2 = 2y$

$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
$2(\tan^{-1} x) \cdot \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) = 2y_1$
$=> 2(\tan^{-1} x) \cdot \frac{1}{1+x^2} = 2y_1$
$=> \frac{\tan^{-1} x}{1+x^2} = y_1$
$=> \tan^{-1} x = (1+x^2)y_1$

পুনরায় $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
$\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) = \frac{d}{dx} \{(1+x^2)y_1\}$
$=> \frac{1}{1+x^2} = (1+x^2) \frac{d}{dx}(y_1) + y_1 \frac{d}{dx}(1+x^2)$
$=> \frac{1}{1+x^2} = (1+x^2)y_2 + y_1(2x)$

উভয়পক্ষকে $(1+x^2)$ দ্বারা গুণ করে পাই,
$1 = (1+x^2)^2 y_2 + 2x(1+x^2)y_1$
$=> (1+x^2)^2 y_2 + 2(1+x^2)xy_1 = 1$ (প্রমাণিত)