ক) প্রমাণ কর যে, $\begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -4 & -3 \end{bmatrix}$ একটি সমঘাতী ম্যাট্রিক্স।

ধরি, $M = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -4 & -3 \end{bmatrix}$
সমঘাতী ম্যাট্রিক্সের শর্তানুসারে, $M^2 = M$ হতে হবে।

$M^2 = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -4 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -4 & -3 \end{bmatrix}$
$=> M^2 = \begin{bmatrix} 4(4)+3(-4) & 4(3)+3(-3) \\ -4(4)+(-3)(-4) & -4(3)+(-3)(-3) \end{bmatrix}$
$=> M^2 = \begin{bmatrix} 16-12 & 12-9 \\ -16+12 & -12+9 \end{bmatrix}$
$=> M^2 = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -4 & -3 \end{bmatrix}$
যেহেতু $M^2 = M$, সেহেতু ম্যাট্রিক্সটি একটি সমঘাতী ম্যাট্রিক্স। (প্রমাণিত)



খ) উদ্দীপকের সমীকরণগুলোকে $AX = B$ আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, $pqr = 1$, যখন $Det(A) = 0$ এবং $p \neq q \neq r$।

উদ্দীপকের সমীকরণ জোট:
$px + qy + rz = 1$
$p^2 x + q^2 y + r^2 z = a$
$(p^3 - 1)x + (q^3 - 1)y + (r^3 - 1)z = a^2$
$=> p^3 x + q^3 y + r^3 z - (x + y + z) = a^2$

ম্যাট্রিক্স আকারে প্রকাশ:
$\begin{bmatrix} p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \\ p^3-1 & q^3-1 & r^3-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ a \\ a^2 \end{bmatrix}$
যা $AX = B$ আকার প্রকাশ করে, যেখানে $A = \begin{bmatrix} p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \\ p^3-1 & q^3-1 & r^3-1 \end{bmatrix}$

শর্তানুসারে, $Det(A) = 0$
$=> \begin{vmatrix} p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \\ p^3-1 & q^3-1 & r^3-1 \end{vmatrix} = 0$
$=> \begin{vmatrix} p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \\ p^3 & q^3 & r^3 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$
$=> pqr \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \end{vmatrix} - (-1)^2 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \end{vmatrix} = 0$ [সারি বিনিময় করে]
$=> (pqr - 1) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \end{vmatrix} = 0$
$=> (pqr - 1) (p-q)(q-r)(r-p) = 0$

যেহেতু $p \neq q \neq r$, তাই $(p-q)(q-r)(r-p) \neq 0$।
$=> pqr - 1 = 0$
$=> pqr = 1$ (দেখানো হলো)



গ) $p = 1, q = 2, r = -1$ হলে $A^{-1}$ নির্ণয় কর।

$p, q, r$ এর মান বসিয়ে পাই, $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 0 & 7 & -2 \end{bmatrix}$

$|A| = 1(-8-7) - 2(-2-0) + (-1)(7-0)$
$=> |A| = -15 + 4 - 7 = -18$

সহগুণকসমূহ:
$A_{11} = -15, A_{12} = 2, A_{13} = 7$
$A_{21} = -(-4+7) = -3, A_{22} = -2, A_{23} = -7$
$A_{31} = 2+4 = 6, A_{32} = -(1+1) = -2, A_{33} = 4-2 = 2$

$adj(A) = \begin{bmatrix} -15 & -3 & 6 \\ 2 & -2 & -2 \\ 7 & -7 & 2 \end{bmatrix}$

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = -\frac{1}{18} \begin{bmatrix} -15 & -3 & 6 \\ 2 & -2 & -2 \\ 7 & -7 & 2 \end{bmatrix}$

উত্তর: $\begin{bmatrix} 5/6 & 1/6 & -1/3 \\ -1/9 & 1/9 & 1/9 \\ -7/18 & 7/18 & -1/9 \end{bmatrix}$