ক) $r - 2 \cos \theta + 4 \sin \theta = 0$ বৃত্তের কেন্দ্র নির্ণয় কর।
দেওয়া আছে পোলার সমীকরণ: $r = 2 \cos \theta - 4 \sin \theta$
উভয়পক্ষকে $r$ দ্বারা গুণ করে পাই,
$r^2 = 2r \cos \theta - 4r \sin \theta$
আমরা জানি, $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$ এবং $r^2 = x^2 + y^2$।
$=> x^2 + y^2 = 2x - 4y$
$=> x^2 + y^2 - 2x + 4y = 0$
এখানে, $2g = -2 => g = -1$
এবং $2f = 4 => f = 2$
বৃত্তের কেন্দ্র $(-g, -f) = (1, -2)$
উত্তর: $(1, -2)$
খ) এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা $Y$-অক্ষকে $B(0, 6)$ বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং $X$-অক্ষ হতে $AB$ এর সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা কর্তন করে।
দেওয়া আছে, $A(-8, 0)$ এবং $B(0, 6)$।
$AB = \sqrt{(-8-0)^2 + (0-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = 10$ একক।
ধরি, বৃত্তের সমীকরণ: $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$
বৃত্তটি $Y$-অক্ষকে $(0, 6)$ বিন্দুতে স্পর্শ করে, তাই:
১. $f^2 = c$
২. কেন্দ্রের কোটি $-f = 6 => f = -6$
$=> c = (-6)^2 = 36$
বৃত্তটি $X$-অক্ষ হতে $10$ একক দৈর্ঘ্যের জ্যা কর্তন করে:
$2\sqrt{g^2 - c} = 10$
$=> \sqrt{g^2 - 36} = 5$
$=> g^2 - 36 = 25$
$=> g^2 = 61$
$=> g = \pm \sqrt{61}$
বৃত্তের সমীকরণ: $x^2 + y^2 \pm 2\sqrt{61}x - 12y + 36 = 0$
উত্তর: $x^2 + y^2 \pm 2\sqrt{61}x - 12y + 36 = 0$
গ) উদ্দীপকের বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদ্দীপকের চিত্রে বৃত্তটি $X$-অক্ষকে $A(-8, 0)$ এবং $Y$-অক্ষকে $B(0, 6)$ বিন্দুতে ছেদ করে এবং এটি মূলবিন্দু $O(0, 0)$ দিয়ে যায় (যেহেতু $X$ ও $Y$ অক্ষের ছেদবিন্দু মূলবিন্দু)।
যেহেতু বৃত্তটি মূলবিন্দু দিয়ে যায়, সেহেতু $c = 0$।
বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ: $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy = 0$
$A(-8, 0)$ বিন্দুগামী হলে:
$(-8)^2 + 0 + 2g(-8) = 0$
$=> 64 - 16g = 0$
$=> 16g = 64 => g = 4$
$B(0, 6)$ বিন্দুগামী হলে:
$0 + 6^2 + 2f(6) = 0$
$=> 36 + 12f = 0$
$=> 12f = -36 => f = -3$
বৃত্তের সমীকরণ: $x^2 + y^2 + 2(4)x + 2(-3)y = 0$
$=> x^2 + y^2 + 8x - 6y = 0$
উত্তর: $x^2 + y^2 + 8x - 6y = 0$
চিত্রে প্রদর্শিত বৃত্তটি মূলবিন্দু এবং অক্ষদ্বয়ের নির্দিষ্ট ছেদবিন্দুসমূহ দিয়ে অতিক্রম করছে।