ক) একটি বৃত্তের কেন্দ্র $(6, \frac{\pi}{4})$ এবং ব্যাসার্ধ $5$ একক হলে, বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

ধরি, বৃত্তের উপরিস্থ যেকোনো বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক $(r, \theta)$।
আমরা জানি, পোলার স্থানাঙ্কে বৃত্তের সমীকরণ:
$r^2 + r_1^2 - 2rr_1 \cos(\theta - \theta_1) = a^2$
এখানে কেন্দ্র $(r_1, \theta_1) = (6, \frac{\pi}{4})$ এবং ব্যাসার্ধ $a = 5$।

$=> r^2 + 6^2 - 2 \cdot r \cdot 6 \cos(\theta - \frac{\pi}{4}) = 5^2$
$=> r^2 + 36 - 12r \cos(\theta - \frac{\pi}{4}) = 25$
$=> r^2 - 12r \cos(\theta - \frac{\pi}{4}) + 11 = 0$

উত্তর: $r^2 - 12r \cos(\theta - \frac{\pi}{4}) + 11 = 0$



খ) উদ্দীপকে উল্লিখিত বৃত্তে এরূপ দুটি স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা উদ্দীপকের স্পর্শকের উপর লম্ব।

উদ্দীপকের বৃত্ত: $x^2 + y^2 - 2x + 2y - 2 = 0$
এখানে, $g = -1, f = 1, c = -2$
কেন্দ্র $C(-g, -f) = (1, -1)$
ব্যাসার্ধ $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 - (-2)} = \sqrt{4} = 2$ একক।

উদ্দীপকের স্পর্শক: $3x + 4y - 9 = 0$
এই রেখার উপর লম্ব যেকোনো রেখার সমীকরণ: $4x - 3y + k = 0 \cdots\cdots (i)$

যদি $(i)$ নং রেখাটি বৃত্তের স্পর্শক হয়, তবে কেন্দ্র $(1, -1)$ হতে রেখাটির লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হবে।
$\left| \frac{4(1) - 3(-1) + k}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} \right| = 2$
$=> \left| \frac{4 + 3 + k}{5} \right| = 2$
$=> |7 + k| = 10$
$=> 7 + k = \pm 10$

হয় $k = 10 - 7 = 3$, অথবা $k = -10 - 7 = -17$
নির্ণেয় স্পর্শকদ্বয়: $4x - 3y + 3 = 0$ এবং $4x - 3y - 17 = 0$



গ) $(4, -3)$ বিন্দু থেকে উদ্দীপকের বৃত্তটির উপর অংকিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য এবং সমীকরণ নির্ণয় কর।

১. স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয়:
বিন্দু $(x_1, y_1) = (4, -3)$ এবং বৃত্ত $S = x^2 + y^2 - 2x + 2y - 2 = 0$
স্পর্শকের দৈর্ঘ্য $= \sqrt{x_1^2 + y_1^2 - 2x_1 + 2y_1 - 2}$
$= \sqrt{4^2 + (-3)^2 - 2(4) + 2(-3) - 2}$
$= \sqrt{16 + 9 - 8 - 6 - 2} = \sqrt{9} = 3$ একক।

২. স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয়:
$(4, -3)$ বিন্দুগামী যেকোনো রেখার সমীকরণ: $y - (-3) = m(x - 4)$
$=> mx - y - (4m + 3) = 0 \cdots\cdots (ii)$
কেন্দ্র $(1, -1)$ হতে $(ii)$ নং এর লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধ $2$ এর সমান হবে।
$\left| \frac{m(1) - (-1) - 4m - 3}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} \right| = 2$
$=> |-3m - 2| = 2\sqrt{m^2 + 1}$
$=> 9m^2 + 12m + 4 = 4(m^2 + 1)$ [বর্গ করে]
$=> 5m^2 + 12m = 0$
$=> m(5m + 12) = 0$
$=> m = 0, -12/5$

$m = 0$ হলে সমীকরণ: $y + 3 = 0$
$m = -12/5$ হলে সমীকরণ: $-\frac{12}{5}x - y - (4(-\frac{12}{5}) + 3) = 0$
$=> -12x - 5y + 48 - 15 = 0 => 12x + 5y - 33 = 0$

উত্তর: দৈর্ঘ্য $3$ একক; সমীকরণ $y + 3 = 0$ এবং $12x + 5y - 33 = 0$।