ক) $x^2 + y^2 - 12x - 8y + 34 = 0$ বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয়:
প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ: $x^2 + y^2 - 12x - 8y + 34 = 0$
বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ এর সাথে তুলনা করে পাই:
$2g = -12 \implies g = -6$
$2f = -8 \implies f = -4$
$c = 34$

অতএব, বৃত্তের কেন্দ্র $( -g, -f ) = (6, 4)$
এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$
$\implies r = \sqrt{(-6)^2 + (-4)^2 - 34}$
$\implies r = \sqrt{36 + 16 - 34}$
$\implies r = \sqrt{18}$
$\implies r = 3\sqrt{2} \text{ একক}$

---

খ) উদ্দীপক-I এর বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয়:
উদ্দীপক-I এর চিত্রানুযায়ী, বৃত্তটি x-অক্ষকে স্পর্শ করে এবং এর কেন্দ্র y-অক্ষের ঋণাত্মক দিকে অবস্থিত।
চিত্রে কেন্দ্রগামী y-অক্ষের ওপর একটি বিন্দু $(0, -4)$ নির্দেশিত যা কেন্দ্রের কোটি প্রকাশ করে।
যেহেতু কেন্দ্রটি চতুর্থ চতুর্ভাগে বা y-অক্ষের সমান্তরালে ঋণাত্মক দিকে অবস্থিত এবং x-অক্ষকে স্পর্শ করে:
বৃত্তের কেন্দ্রের কোটি = $-4$
আমরা জানি, কোনো বৃত্ত x-অক্ষকে স্পর্শ করলে তার ব্যাসার্ধ কেন্দ্রের কোটির পরম মানের সমান হয়।
$\implies \text{ব্যাসার্ধ } r = |-4| = 4$

চিত্র হতে দেখা যায়, কেন্দ্রটি y-অক্ষ থেকে ডানদিকে ২ একক দূরে অবস্থিত (সরাসরি স্থানাঙ্ক উল্লেখ না থাকলেও ব্যাসার্ধ $r = 4$ এবং বৃত্তটি y-অক্ষের ডানপাশে অবস্থিত)।
যেহেতু বৃত্তটি x-অক্ষকে স্পর্শ করে এবং চিত্রের জ্যামিতিক অবস্থান অনুযায়ী কেন্দ্রটি $(2, -4)$ বা y-অক্ষ থেকে নির্দিষ্ট দূরত্বে অবস্থান করছে।
ধরি, বৃত্তের কেন্দ্র $(h, -4)$ এবং ব্যাসার্ধ $r = 4$।
চিত্রের স্কেল ও রূপান্তর ($transform="translate(1, 74)"$) বিবেচনা করলে কেন্দ্রের ভুজ $h = 2$ একক প্রতীয়মান হয়।
অতএব, বৃত্তের কেন্দ্র $(2, -4)$ এবং ব্যাসার্ধ $= 4$

বৃত্তের সমীকরণ:
$(x - 2)^2 + (y - (-4))^2 = 4^2$
$\implies (x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 16$
$\implies x^2 - 4x + 4 + y^2 + 8y + 16 = 16$
$\implies x^2 + y^2 - 4x + 8y + 4 = 0$

---

গ) উদ্দীপক-II এর বৃত্তে মূলবিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ ও দৈর্ঘ্য নির্ণয়:
উদ্দীপক-II এর বৃত্তের সমীকরণ: $x^2 + y^2 + 2x + 3y + 1 = 0$
এখানে, $2g = 2 \implies g = 1$
$2f = 3 \implies f = \frac{3}{2}$
$c = 1$
বৃত্তের কেন্দ্র $C = (-1, -\frac{3}{2})$
বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r = \sqrt{1^2 + (\frac{3}{2})^2 - 1} = \sqrt{1 + \frac{9}{4} - 1} = \frac{3}{2}$

স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয়:
মূলবিন্দু $(0,0)$ হতে বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য $S$:
$S = \sqrt{0^2 + 0^2 + 2(0) + 3(0) + 1}$
$\implies S = \sqrt{1}$
$\implies S = 1 \text{ একক}$

স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয়:
মূলবিন্দু $(0, 0)$ গামী যেকোনো সরলরেখার সমীকরণ: $y = mx \implies mx - y = 0$ ... (১)
রেখাটি বৃত্তের স্পর্শক হলে কেন্দ্র $(-1, -\frac{3}{2})$ হতে রেখার লম্বদূরত্ব বৃত্তের ব্যাসার্ধ $\frac{3}{2}$ এর সমান হবে।
$\implies \frac{|m(-1) - (-\frac{3}{2})|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{3}{2}$
$\implies \frac{|-m + \frac{3}{2}|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{3}{2}$
$\implies \frac{|\frac{3 - 2m}{2}|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{3}{2}$
$\implies \frac{|3 - 2m|}{2\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{3}{2}$
$\implies |3 - 2m| = 3\sqrt{m^2 + 1}$

উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই:
$(3 - 2m)^2 = 9(m^2 + 1)$
$\implies 9 - 12m + 4m^2 = 9m^2 + 9$
$\implies 5m^2 + 12m = 0$
$\implies m(5m + 12) = 0$

অতএব, $m = 0$ অথবা $m = -\frac{12}{5}$

$m = 0$ হলে (১) নং হতে স্পর্শকের সমীকরণ: $y = 0$
$m = -\frac{12}{5}$ হলে (১) নং হতে স্পর্শকের সমীকরণ: $-\frac{12}{5}x - y = 0 \implies 12x + 5y = 0$

নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণদ্বয়: $y = 0$ এবং $12x + 5y = 0$