ক) $K$ এর কোন মানের জন্য $A = \begin{bmatrix} K-3 & -1 \\ -2 & K-2 \end{bmatrix}$ ব্যুৎক্রমী ম্যাট্রিক্স হবে?

একটি ম্যাট্রিক্স ব্যুৎক্রমী হওয়ার শর্ত হলো এর নির্ণায়কের মান শূন্য হতে পারবে না ($|A| \neq 0$)।
দেওয়া আছে, $A = \begin{bmatrix} K-3 & -1 \\ -2 & K-2 \end{bmatrix}$
$=> |A| = (K-3)(K-2) - (-1)(-2)$
$=> |A| = K^2 - 5K + 6 - 2$
$=> |A| = K^2 - 5K + 4$

ব্যুৎক্রমী হওয়ার জন্য, $K^2 - 5K + 4 \neq 0$
$=> (K-4)(K-1) \neq 0$
$=> K \neq 4$ এবং $K \neq 1$

উত্তর: $K$ এর মান $1$ এবং $4$ ব্যতীত যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হলে $A$ ব্যুৎক্রমী হবে।



খ) উদ্দীপক হতে $A^3 - 3A^2 - A + 9I = 0$ এর সাহায্যে $A^{-1}$ নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে সমীকরণ: $A^3 - 3A^2 - A + 9I = 0$
উভয়পক্ষকে $A^{-1}$ দ্বারা গুণ করে পাই,
$A^{-1}(A^3) - 3A^{-1}(A^2) - A^{-1}(A) + 9A^{-1}(I) = 0$
$=> A^2 - 3A - I + 9A^{-1} = 0$
$=> 9A^{-1} = I + 3A - A^2 \cdots\cdots (i)$

এখন $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \end{bmatrix}$ হলে,
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 3 & 0 \\ -3 & 2 & -2 \\ 6 & 4 & 5 \end{bmatrix}$

$(i)$ নং হতে,
$9A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 & 3 & 0 \\ -3 & 2 & -2 \\ 6 & 4 & 5 \end{bmatrix}$
$=> 9A^{-1} = \begin{bmatrix} 1+3-4 & 0+6-3 & 0+3-0 \\ 0+0-(-3) & 1+3-2 & 0-3-(-2) \\ 0+9-6 & 0-3-4 & 1+3-5 \end{bmatrix}$
$=> 9A^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & -1 \\ 3 & -7 & -1 \end{bmatrix}$
$=> A^{-1} = \frac{1}{9} \begin{bmatrix} 0 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & -1 \\ 3 & -7 & -1 \end{bmatrix}$

উত্তর: $A^{-1} = \frac{1}{9} \begin{bmatrix} 0 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & -1 \\ 3 & -7 & -1 \end{bmatrix}$



গ) উদ্দীপকের সাহায্যে $|\Delta + I| = 0$ সমীকরণের সমাধান কর। যেখানে $I$ একটি অভেদক ম্যাট্রিক্স।

এখানে $|\Delta + I|$ বলতে সম্ভবত $\Delta$ নির্ণায়কটির ম্যাট্রিক্স রূপের সাথে অভেদক ম্যাট্রিক্সের যোগফলকে বোঝানো হয়েছে।
ধরি, $M = \begin{bmatrix} x-1 & 2 & 3 \\ 1 & x-1 & 1 \\ 3 & 2 & x-1 \end{bmatrix}$
তবে $|\Delta + I| = 0$ হলে,
$\begin{vmatrix} (x-1)+1 & 2 & 3 \\ 1 & (x-1)+1 & 1 \\ 3 & 2 & (x-1)+1 \end{vmatrix} = 0$
$=> \begin{vmatrix} x & 2 & 3 \\ 1 & x & 1 \\ 3 & 2 & x \end{vmatrix} = 0$

নির্ণায়কের মান বিস্তার করি:
$x(x^2 - 2) - 2(x - 3) + 3(2 - 3x) = 0$
$=> x^3 - 2x - 2x + 6 + 6 - 9x = 0$
$=> x^3 - 13x + 12 = 0$

এখানে $x = 1$ বসালে রাশিটি শূন্য হয় $(1 - 13 + 12 = 0)$, তাই $(x-1)$ একটি উৎপাদক।
$x^2(x - 1) + x(x - 1) - 12(x - 1) = 0$
$=> (x - 1)(x^2 + x - 12) = 0$
$=> (x - 1)(x + 4)(x - 3) = 0$

অতএব, $x = 1, 3, -4$

উত্তর: $x = 1, 3, -4$