ক) $x - 2y + 1 = 0$ এবং $3x - y + 5 = 0$ সরলরেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্মকোণ নির্ণয় কর।

১ম রেখার ঢাল, $m_1 = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$
২য় রেখার ঢাল, $m_2 = -\frac{3}{-1} = 3$

ধরি, রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ $\theta$।
$\tan \theta = \pm \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}$
$=> \tan \theta = \pm \frac{\frac{1}{2} - 3}{1 + \frac{1}{2} \cdot 3}$
$=> \tan \theta = \pm \frac{-5/2}{5/2} = \pm 1$

সূক্ষ্মকোণের জন্য ধনাত্মক মান নিয়ে পাই,
$\tan \theta = 1$
$=> \theta = \tan^{-1}(1) = 45^\circ$

উত্তর: $45^\circ$



খ) দৃশ্যকল্প-১ হতে $D$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে, $A(-2, 4), B(1, -1), C(6, 2)$। ধরি $D$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(x, y)$।
শর্ত ১: $AD \parallel BC$
$BC$ এর ঢাল $= \frac{2 - (-1)}{6 - 1} = \frac{3}{5}$
$AD$ এর ঢাল $= \frac{y - 4}{x - (-2)} = \frac{y - 4}{x + 2}$
যেহেতু $AD \parallel BC$, তাই $\frac{y - 4}{x + 2} = \frac{3}{5}$
$=> 5y - 20 = 3x + 6$
$=> 3x - 5y + 26 = 0 \cdots\cdots (i)$

শর্ত ২: $\angle ACD = 90^\circ$ অর্থাৎ $AC \perp CD$
$AC$ এর ঢাল $= \frac{2 - 4}{6 - (-2)} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$
$CD$ এর ঢাল $= \frac{y - 2}{x - 6}$
যেহেতু $AC \perp CD$, তাই $(-\frac{1}{4}) \cdot \frac{y - 2}{x - 6} = -1$
$=> \frac{y - 2}{4(x - 6)} = 1$
$=> y - 2 = 4x - 24$
$=> 4x - y - 22 = 0 \cdots\cdots (ii)$

$(ii)$ নং হতে পাই, $y = 4x - 22$। এটি $(i)$ নং এ বসিয়ে পাই:
$3x - 5(4x - 22) + 26 = 0$
$=> 3x - 20x + 110 + 26 = 0$
$=> -17x + 136 = 0$
$=> 17x = 136 => x = 8$
$x = 8$ হলে, $y = 4(8) - 22 = 32 - 22 = 10$

নির্ণেয় D বিন্দুর স্থানাঙ্ক: $(8, 10)$



গ) দৃশ্যকল্প-২ ব্যবহার করে $p$ এবং $q$ এর মান নির্ণয় কর।

$A(8, 3)$ এবং $B(p, q)$ এর লম্ব সমদ্বিখন্ডক $y = -2x + 4$ বা $2x + y - 4 = 0 \cdots (i)$
১. $AB$ রেখা $(i)$ নং রেখার ওপর লম্ব।
$AB$ এর ঢাল $= \frac{q - 3}{p - 8}$
$(i)$ নং রেখার ঢাল $= -2$
লম্ব হওয়ার শর্তে, $\frac{q - 3}{p - 8} \cdot (-2) = -1$
$=> 2q - 6 = p - 8$
$=> p - 2q - 2 = 0 \cdots\cdots (ii)$

২. $AB$ এর মধ্যবিন্দু $M \left( \frac{p+8}{2}, \frac{q+3}{2} \right)$ রেখা $(i)$ এর ওপর অবস্থিত।
$2 \left( \frac{p+8}{2} \right) + \frac{q+3}{2} - 4 = 0$
$=> p + 8 + \frac{q+3}{2} - 4 = 0$
$=> 2p + 16 + q + 3 - 8 = 0$
$=> 2p + q + 11 = 0 \cdots\cdots (iii)$

$(ii)$ নং হতে $p = 2q + 2$ মানটি $(iii)$ এ বসিয়ে পাই:
$2(2q + 2) + q + 11 = 0$
$=> 4q + 4 + q + 11 = 0$
$=> 5q + 15 = 0 => q = -3$
$q = -3$ হলে, $p = 2(-3) + 2 = -6 + 2 = -4$

নির্ণেয় মান: $p = -4, q = -3$