ক) $\int_0^{\pi/2} \sqrt{\cos x} \sin^3 x dx$ এর মান নির্ণয় কর।

ধরি, $I = \int_0^{\pi/2} \sqrt{\cos x} \sin^2 x \sin x dx$
$=> I = \int_0^{\pi/2} \sqrt{\cos x} (1 - \cos^2 x) \sin x dx$

ধরি, $\cos x = z$
$=> -\sin x dx = dz$
$=> \sin x dx = -dz$

সীমা পরিবর্তন:
যখন $x = 0$, $z = \cos 0 = 1$
যখন $x = \pi/2$, $z = \cos(\pi/2) = 0$

$I = \int_1^0 \sqrt{z} (1 - z^2) (-dz)$
$=> I = \int_0^1 (z^{1/2} - z^{5/2}) dz$
$=> I = [\frac{z^{3/2}}{3/2} - \frac{z^{7/2}}{7/2}]_0^1$
$=> I = [\frac{2}{3} z^{3/2} - \frac{2}{7} z^{7/2}]_0^1$
$=> I = \frac{2}{3} - \frac{2}{7} = \frac{14 - 6}{21} = \frac{8}{21}$

উত্তর: $\frac{8}{21}$

---

খ) দৃশ্যকল্প-২ হতে $\int f(x) dx$ নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে, $f(x) = \frac{x}{(x+1)^2 (x+2)}$
ধরি, $\frac{x}{(x+1)^2 (x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2} + \frac{C}{x+2}$
$=> x = A(x+1)(x+2) + B(x+2) + C(x+1)^2$

$x = -1$ বসিয়ে পাই, $-1 = B(1) => B = -1$
$x = -2$ বসিয়ে পাই, $-2 = C(-1)^2 => C = -2$
$x^2$ এর সহগ সমীকৃত করে পাই, $0 = A + C => A = -C = 2$

$\int f(x) dx = \int \left( \frac{2}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^2} - \frac{2}{x+2} \right) dx$
$=> 2 \ln|x+1| - (- \frac{1}{x+1}) - 2 \ln|x+2| + c$
$=> 2 \ln|\frac{x+1}{x+2}| + \frac{1}{x+1} + c$

উত্তর: $2 \ln|\frac{x+1}{x+2}| + \frac{1}{x+1} + c$

---

গ) দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত চিত্রের ছায়াশেখা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ এর চিত্রে বক্ররেখা দুটি হলো $y^2 = 4x$ এবং $y = x - x^2$।
তবে চিত্রের ছায়াযুক্ত অংশটি মূলত মূলবিন্দু $O(0,0)$ এবং বক্ররেখা দুটির ছেদবিন্দু দ্বারা সীমাবদ্ধ।

ছেদবিন্দু নির্ণয়:
$y^2 = 4x$ থেকে $x = \frac{y^2}{4}$
এটি $y = x - x^2$ এ বসালে হিসাব জটিল হয়। চিত্রানুসারে ছায়াযুক্ত অংশটি $x = 0$ থেকে শুরু হয়েছে।
সাধারণত এই ধরণের প্রশ্নে $y^2 = 4x$ (পরাবৃত্ত) এবং $y = x$ বা অন্য কোনো রেখা থাকে।
কিন্তু উদ্দীপকের চিত্র ও সমীকরণ অনুযায়ী ছায়াযুক্ত অংশের ক্ষেত্রফল $A$:
$A = \int_0^{x_1} (y_{upper} - y_{lower}) dx$

এখানে $y_1 = \sqrt{4x} = 2\sqrt{x}$ এবং $y_2 = x - x^2$।
ছায়াযুক্ত অংশটি প্রথম চতুর্ভাগে $y_1$ এবং $y_2$ এর মধ্যবর্তী অঞ্চল।
যদি ছেদবিন্দু $x = 1$ হয় (যেহেতু $y = 1-1=0$ এবং $y^2=4$ সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়, উদ্দীপকের চিত্রে বক্ররেখা দুটির প্রকৃতি অনুযায়ী সমাকলন হবে):
$A = \int_0^{x_1} \{2\sqrt{x} - (x - x^2)\} dx$

যেহেতু নির্দিষ্ট ছেদবিন্দু চিত্রে স্পষ্ট নয়, সাধারণত মূলবিন্দু হতে প্রথম ছেদবিন্দু পর্যন্ত ক্ষেত্রফল:
$A = [\frac{2 \cdot x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}]_0^{x_1}$
$=> A = \frac{4}{3}x_1\sqrt{x_1} - \frac{x_1^2}{2} + \frac{x_1^3}{3}$ বর্গ একক।




y = x - x²

y² = 4x

চিত্র: উদ্দীপকের বক্ররেখাদ্বয় দ্বারা সীমাবদ্ধ ছায়াযুক্ত অঞ্চলের একটি জ্যামিতিক রূপ।