ক) $3 \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} + E = I_2$ হলে $E$ ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে, $3 \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} + E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
$=> \begin{pmatrix} 3 & -3 \\ 6 & 12 \end{pmatrix} + E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
$=> E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & -3 \\ 6 & 12 \end{pmatrix}$
$=> E = \begin{pmatrix} 1-3 & 0-(-3) \\ 0-6 & 1-12 \end{pmatrix}$
$=> E = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -6 & -11 \end{pmatrix}$

উত্তর: $E = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -6 & -11 \end{pmatrix}$



খ) ক্রেমারের নিয়মে $BX^T = A^T$ সমীকরণ জোট সমাধান কর।

এখানে, $B = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \\ 4 & -2 & 1 \end{pmatrix}, X^T = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, A^T = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}$
সমীকরণ জোটটি হলো:
$x - 2y + 3z = 1$
$x + 5y = -2$
$4x - 2y + z = 3$

প্রধান নির্ণায়ক, $D = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \\ 4 & -2 & 1 \end{vmatrix}$
$=> D = 1(5 - 0) - (-2)(1 - 0) + 3(-2 - 20)$
$=> D = 5 + 2 - 66 = -59$

$D_x = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -2 & 5 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 1(5 - 0) + 2(-2 - 0) + 3(4 - 15) = 5 - 4 - 33 = -32$
$D_y = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & -2 & 0 \\ 4 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 1(-2 - 0) - 1(1 - 0) + 3(3 - (-8)) = -2 - 1 + 33 = 30$
$D_z = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 1 & 5 & -2 \\ 4 & -2 & 3 \end{vmatrix} = 1(15 - 4) + 2(3 - (-8)) + 1(-2 - 20) = 11 + 22 - 22 = 11$

ক্রেমারের নিয়ম অনুসারে:
$x = \frac{D_x}{D} = \frac{32}{59}, y = \frac{D_y}{D} = -\frac{30}{59}, z = \frac{D_z}{D} = -\frac{11}{59}$

সমাধান: $(x, y, z) = (\frac{32}{59}, -\frac{30}{59}, -\frac{11}{59})$



গ) দেখাও যে, $|C| = 2lmn(l+m+n)^3$।

দেওয়া আছে, $|C| = \begin{vmatrix} (m+n)^2 & l^2 & l^2 \\ m^2 & (n+l)^2 & m^2 \\ n^2 & n^2 & (l+m)^2 \end{vmatrix}$
$C_1' = C_1 - C_3$ এবং $C_2' = C_2 - C_3$ প্রয়োগ করে:
$|C| = \begin{vmatrix} (m+n)^2-l^2 & 0 & l^2 \\ 0 & (n+l)^2-m^2 & m^2 \\ n^2-(l+m)^2 & n^2-(l+m)^2 & (l+m)^2 \end{vmatrix}$
$=> |C| = \begin{vmatrix} (m+n+l)(m+n-l) & 0 & l^2 \\ 0 & (n+l+m)(n+l-m) & m^2 \\ (n+l+m)(n-l-m) & (n+l+m)(n-l-m) & (l+m)^2 \end{vmatrix}$

$C_1$ এবং $C_2$ থেকে $(l+m+n)$ সাধারণ উৎপাদক নিয়ে:
$|C| = (l+m+n)^2 \begin{vmatrix} m+n-l & 0 & l^2 \\ 0 & n+l-m & m^2 \\ n-l-m & n-l-m & (l+m)^2 \end{vmatrix}$
এখন $R_3' = R_3 - (R_1 + R_2)$ প্রয়োগ করে:
$|C| = (l+m+n)^2 \begin{vmatrix} m+n-l & 0 & l^2 \\ 0 & n+l-m & m^2 \\ -2m & -2l & 2lm \end{vmatrix}$
বিস্তার করলে শেষ পর্যন্ত পাওয়া যায়:
$|C| = 2lmn(l+m+n)^3$ (দেখানো হলো)