ক) (3, -1) এবং (2, -2) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগরেখা X-অক্ষের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয়:
ধরি, বিন্দুদ্বয় $P(3, -1)$ এবং $Q(2, -2)$।
$PQ$ সরলরেখার ঢাল $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
$\implies m = \frac{-2 - (-1)}{2 - 3}$
$\implies m = \frac{-2 + 1}{-1}$
$\implies m = \frac{-1}{-1}$
$\implies m = 1$

আমরা জানি, কোনো সরলরেখা X-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে $\theta$ কোণ উৎপন্ন করলে তার ঢাল $m = \tan \theta$।
$\implies \tan \theta = 1$
$\implies \tan \theta = \tan 45^\circ$
$\implies \theta = 45^\circ$
অতএব, রেখাটি X-অক্ষের সাথে $45^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে।

---

খ) দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে AB সরলরেখার উপর লম্বরেখা OC এর সমীকরণ নির্ণয়:
দৃশ্যকল্প-১ এর চিত্র এবং শর্তানুযায়ী, $OA = OB$।
ধরি, $OA = OB = a$ একক।
যেহেতু A বিন্দুটি X-অক্ষের ধনাত্মক দিকে অবস্থিত, তাই এর স্থানাঙ্ক $A(a, 0)$।
এবং B বিন্দুটি Y-অক্ষের ধনাত্মক দিকে অবস্থিত, তাই এর স্থানাঙ্ক $B(0, a)$।

অক্ষদ্বয় হতে $a$ পরিমাণ অংশ কর্তনকারী $AB$ সরলরেখার সমীকরণ:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$
$\implies x + y = a$
$\implies x + y - a = 0$ ... (১)

(১) নং $AB$ সরলরেখার উপর লম্ব যেকোনো রেখার সমীকরণ:
$x - y + k = 0$ ... (২)

চিত্র হতে দেখা যায়, লম্বরেখাটি মূলবিন্দু $O(0,0)$ গামী, যা চিত্রে $OC$ রেখা নির্দেশ করে।
যেহেতু (২) নং রেখাটি $O(0, 0)$ বিন্দুগামী:
$\implies 0 - 0 + k = 0$
$\implies k = 0$

$k$ এর মান (২) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, নির্ণেয় $OC$ রেখার সমীকরণ:
$x - y = 0$

---

গ) দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের অক্ষদ্বয়ের সাথে উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
দৃশ্যকল্প-২ এর রেখাদ্বয়:
$4x - 3y + 1 = 0$ ... (১)
$3x + 4y + 8 = 0$ ... (২)

এখানে, $a_1 = 4, b_1 = -3, c_1 = 1$ এবং $a_2 = 3, b_2 = 4, c_2 = 8$
এখন, $a_1 a_2 + b_1 b_2 = (4)(3) + (-3)(4) = 12 - 12 = 0$

যেহেতু $a_1 a_2 + b_1 b_2 = 0$, সেহেতু প্রদত্ত রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব এবং এদের মধ্যবর্তী কোণ $90^\circ$।
অতএব, এদের মধ্যবর্তী যেকোনো সমদ্বিখন্ডকই সূক্ষ্মকোণ বা স্থূলকোণ আলাদা না করে সমানভাবে কোণকে অর্দ্ধেক ($45^\circ$) করবে। আমরা যেকোনো একটি সমদ্বিখন্ডক নিয়ে হিসাব করতে পারি।

রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ:
$\frac{4x - 3y + 1}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \pm \frac{3x + 4y + 8}{\sqrt{3^2 + 4^2}}$
$\implies \frac{4x - 3y + 1}{5} = \pm \frac{3x + 4y + 8}{5}$
$\implies 4x - 3y + 1 = \pm (3x + 4y + 8)$

(+) চিহ্ন নিয়ে একটি সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ পাই:
$4x - 3y + 1 = 3x + 4y + 8$
$\implies x - 7y - 7 = 0$
$\implies x - 7y = 7$
$\implies \frac{x}{7} + \frac{y}{-1} = 1$ ... (৩)

(৩) নং সমীকরণটি অক্ষদ্বয় থেকে যথাক্রমে $a = 7$ এবং $b = -1$ অংশ কর্তন করে।
অতএব, অক্ষদ্বয়ের সাথে উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল:
$\Delta = \frac{1}{2} |a \times b|$
$\implies \Delta = \frac{1}{2} |7 \times (-1)|$
$\implies \Delta = \frac{1}{2} |-7|$
$\implies \Delta = \frac{7}{2} = 3.5 \text{ বর্গ একক}$

(নোট: যদি (-) চিহ্ন নিয়ে অপর সমদ্বিখন্ডকটি বিবেচনা করা হয়, তবে সমীকরণটি হবে $7x + y + 9 = 0 \implies \frac{x}{-9/7} + \frac{y}{-9} = 1$, যার ক্ষেত্রফল হবে $\frac{1}{2} |(-\frac{9}{7}) \times (-9)| = \frac{81}{14}$ বর্গ একক। কোণদ্বয় সমান হওয়ায় উভয় সমদ্বিখন্ডকই গ্রহণযোগ্য।)