ক) একটি বৃত্তের পরামিতিক সমীকরণ $x = \sqrt{1 - t^2}$ এবং $y = t + 3$ হলে বৃত্তটির কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ কত?

প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়:
$x = \sqrt{1 - t^2} \implies x^2 = 1 - t^2 \cdots\cdots (i)$
$y = t + 3 \implies t = y - 3 \cdots\cdots (ii)$

$(i)$ নং সমীকরণে $t$ এর মান বসিয়ে পাই:
$x^2 = 1 - (y - 3)^2$
$=> x^2 + (y - 3)^2 = 1$
$=> (x - 0)^2 + (y - 3)^2 = 1^2$

কার্তেসীয় সমীকরণটিকে বৃত্তের আদর্শ সমীকরণ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ এর সাথে তুলনা করে পাই:
কেন্দ্র $(h, k) = (0, 3)$
ব্যাসার্ধ $r = 1$ একক।

উত্তর: কেন্দ্র $(0, 3)$ এবং ব্যাসার্ধ $1$ একক।

---

খ) যদি $P$ বিন্দুটি $EF$ রেখাংশের একটি সমত্রিখন্ডক হয় তবে $OP$ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

চিত্র হতে দেখা যায়, $OD$ রেখাটি $X$-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে $45^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে।
সুতরাং, $OD$ রেখার সমীকরণ: $y = x \tan 45^\circ \implies y = x \implies x - y = 0$

যেহেতু $P$ বিন্দুটি $OD$ রেখার উপর অবস্থিত এবং চিত্রে তার স্থানাঙ্ক $(2, 2)$ দেওয়া আছে, মূলবিন্দু $O(0,0)$ এবং $P(2,2)$ বিন্দুগামী সরলরেখাটিই হলো $OD$ বা $OP$ রেখা।
দুইটি বিন্দুগামী রেখার সমীকরণ অনুসারে $OP$ রেখার সমীকরণ:
$\frac{x - 0}{0 - 2} = \frac{y - 0}{0 - 2}$
$=> \frac{x}{-2} = \frac{y}{-2}$
$=> x = y$
$=> x - y = 0$

[দ্রষ্টব্য: $P$ বিন্দুটি $EF$ রেখার সমত্রিখন্ডক হলেও $O(0,0)$ ও $P(2,2)$ বিন্দু দুটি সুনির্দিষ্ট হওয়ায় $OP$ রেখার সমীকরণ সরাসরি নির্ণয় করা সম্ভব।]

উত্তর: $x - y = 0$

---

গ) যদি $OD = 3\sqrt{2}$ হয় তবে বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

চিত্রানুসারে, $OD$ রেখাটি বৃত্তের কেন্দ্র $P(2, 2)$ দিয়ে গমন করে এবং তা বৃত্তের একটি ব্যাস বরাবর অবস্থিত।
$OD$ এর দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে $3\sqrt{2}$ একক।

মূলবিন্দু $O(0,0)$ হতে বৃত্তের কেন্দ্র $P(2,2)$ এর দূরত্ব $OP$ নির্ণয় করি:
$OP = \sqrt{(2-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ একক।

চিত্র হতে স্পষ্ট যে, $D$ বিন্দুটি বৃত্তের পরিধির উপর অবস্থিত এবং $O, P, D$ একই সরলরেখায় অবস্থিত।
অতএব, বৃত্তের ব্যাসার্ধ $R = PD = OD - OP$
$=> R = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = \sqrt{2}$ একক।

এখন, কেন্দ্র $P(2, 2)$ এবং ব্যাসার্ধ $R = \sqrt{2}$ বিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ:
$(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = (\sqrt{2})^2$
$=> x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4 = 2$
$=> x^2 + y^2 - 4x - 4y + 8 - 2 = 0$
$=> x^2 + y^2 - 4x - 4y + 6 = 0$

উত্তর: $x^2 + y^2 - 4x - 4y + 6 = 0$






X
Y
O


D


P(2,2)




F
E


45°

চিত্র: কার্তেসীয় সমতলে কেন্দ্র $P(2,2)$ এবং ব্যাসার্ধ $\sqrt{2}$ বিশিষ্ট নির্ণেয় বৃত্ত এবং সংশ্লিষ্ট জ্যামিতিক রেখাসমূহ প্রদর্শন করা হলো।