ক-এর উত্তর:
প্রদত্ত উপবৃত্তের সমীকরণ: $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$
এখানে, $a^2 = 9 \implies a = 3$ এবং $b^2 = 5 \implies b = \sqrt{5}$
যেহেতু $a > b$, তাই উৎকেন্দ্রিকতা $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$
বা, $e = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$
সুতরাং, উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা $\frac{2}{3}$।

খ-এর উত্তর:
উদ্দীপকের সমীকরণ: $9x^2 - 16y^2 - 36x - 32y - 124 = 0$
বা, $9(x^2 - 4x) - 16(y^2 + 2y) = 124$
বা, $9(x^2 - 4x + 4) - 16(y^2 + 2y + 1) = 124 + 36 - 16$
বা, $9(x - 2)^2 - 16(y + 1)^2 = 144$
বা, $\frac{(x - 2)^2}{16} - \frac{(y + 1)^2}{9} = 1$ (এটিই প্রমিত আকার)

এখানে, $A^2 = 16 \implies A = 4$ এবং $B^2 = 9 \implies B = 3$
উৎকেন্দ্রিকতা $e = \sqrt{1 + \frac{B^2}{A^2}} = \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \frac{5}{4}$
ধরি, $x - 2 = X$ এবং $y + 1 = Y$
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $(X, Y) = (\pm Ae, 0)$
বা, $x - 2 = \pm (4 \times \frac{5}{4}) = \pm 5$ এবং $y + 1 = 0$
$\therefore x = 2 \pm 5 = 7, -3$ এবং $y = -1$
সুতরাং, উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক $(7, -1)$ এবং $(-3, -1)$।

গ-এর উত্তর:
পরাবৃত্তের সমীকরণ: $3y^2 - 12y = 10x + 18$
বা, $3(y^2 - 4y + 4) = 10x + 18 + 12$
বা, $3(y - 2)^2 = 10x + 30$
বা, $(y - 2)^2 = \frac{10}{3}(x + 3)$
$\therefore$ পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু $(-3, 2)$।

'খ' হতে প্রাপ্ত অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ: $\frac{x - 2}{A} \pm \frac{y + 1}{B} = 0$
বা, $\frac{x - 2}{4} \pm \frac{y + 1}{3} = 0$
ধণাত্মক চিহ্ন নিয়ে, $3x - 6 + 4y + 4 = 0 \implies 3x + 4y - 2 = 0$
ঋণাত্মক চিহ্ন নিয়ে, $3x - 6 - 4y - 4 = 0 \implies 3x - 4y - 10 = 0$

শীর্ষবিন্দু $(-3, 2)$ হতে অসীমতটদ্বয়ের লম্ব দূরত্ব:
$d_1 = \frac{|3(-3) + 4(2) - 2|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|-9 + 8 - 2|}{5} = \frac{3}{5} = 0.6$ একক
$d_2 = \frac{|3(-3) - 4(2) - 10|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|-9 - 8 - 10|}{5} = \frac{27}{5} = 5.4$ একক