ক-এর উত্তর:
প্রদত্ত অধিবৃত্ত: $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{25} = 1$
এখানে, $a^2 = 9 \implies a = 3$ এবং $b^2 = 25 \implies b = 5$।
উৎকেন্দ্রিকতা, $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{25}{9}} = \sqrt{\frac{34}{9}} = \frac{\sqrt{34}}{3}$
আমরা জানি, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ: $x = \pm ae$
$\implies x = \pm 3 \cdot \frac{\sqrt{34}}{3}$
$\therefore x = \pm \sqrt{34}$ (নির্ণেয় সমীকরণ)।

খ-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, পরাবৃত্তের সমীকরণ $y = ax^2 + bx + c$ এবং শীর্ষবিন্দু $(4, 5)$।
পরাবৃত্তের সমীকরণটিকে শীর্ষবিন্দু আকারে লিখলে পাই, $y - 5 = a(x - 4)^2$
$\implies y - 5 = a(x^2 - 8x + 16)$
$\implies y = ax^2 - 8ax + 16a + 5$ --- (i)
পরাবৃত্তটি $(0, 1)$ বিন্দুগামী। সুতরাং,
$1 = a(0)^2 - 8a(0) + 16a + 5$
$\implies 1 = 16a + 5 \implies 16a = -4 \implies a = -1/4$
এখন $a = -1/4$ এর মান (i) নং সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,
$b = -8a = -8(-1/4) = 2$
$c = 16a + 5 = 16(-1/4) + 5 = -4 + 5 = 1$
$\therefore a = -1/4, b = 2, c = 1$ (নির্ণেয় মান)।

গ-এর উত্তর:
উদ্দীপকের পরাবৃত্তের শীর্ষ $(4, 5)$ হলো নতুন পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র $S(4, 5)$।
নিয়ামক রেখার সমীকরণ: $2y = 7 \implies y = 3.5$।
অক্ষরেখা নিয়ামকের ওপর লম্ব এবং উপকেন্দ্রগামী।
$\therefore$ অক্ষরেখার সমীকরণ: $x = 4$।
অক্ষরেখা ও নিয়ামক রেখার ছেদবিন্দু $Z(4, 3.5)$।
শীর্ষবিন্দু $A$ হলো $SZ$ এর মধ্যবিন্দু। $\therefore A = (\frac{4+4}{2}, \frac{5+3.5}{2}) = (4, 4.25)$।
উপকেন্দ্র ও শীর্ষের দূরত্ব, $a = 5 - 4.25 = 0.75$।
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $= |4a| = 4 \times 0.75 = 3$।
উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় উপকেন্দ্র হতে অক্ষরেখার দুই দিকে $2a$ দূরত্বে অবস্থিত।
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ: $y = 5$।
$\therefore$ প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক: $(4 \pm 2a, 5)$
$\implies (4 \pm 2(0.75), 5)$
$\implies (4 \pm 1.5, 5)$
$\therefore$ স্থানাঙ্কদ্বয় হলো: $(5.5, 5)$ এবং $(2.5, 5)$।