ক-এর উত্তর:
প্রদত্ত উপবৃত্ত: $4x^2 + 9y^2 = 36$ বা, $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$
এখানে, $a^2 = 9$ এবং $b^2 = 4$।
স্পর্শকের সমীকরণ: $y = 2x + c$, যেখানে ঢাল $m = 2$।
আমরা জানি, $y = mx + c$ রেখাটি $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ উপবৃত্তের স্পর্শক হওয়ার শর্ত: $c^2 = a^2m^2 + b^2$
বা, $c^2 = 9(2)^2 + 4$
বা, $c^2 = 36 + 4 = 40$
$\therefore c = \pm \sqrt{40} = \pm 2\sqrt{10}$।

খ-এর উত্তর:
দৃশ্যকল্প-১ এর চিত্র হতে পাই, শীর্ষবিন্দু $A(5, 0)$ এবং উপকেন্দ্র $S(3, 0)$।
যেহেতু কেন্দ্র মূলবিন্দুতে $(0, 0)$, তাই $a = 5$ এবং $ae = 3$।
$\therefore e = 3/a = 3/5$।
আমরা জানি, $b^2 = a^2(1 - e^2)$
বা, $b^2 = 5^2(1 - (3/5)^2) = 25(1 - 9/25) = 25 - 9 = 16$
$\therefore$ উপবৃত্তটির সমীকরণ: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
বা, $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$
বা, $16x^2 + 25y^2 = 400$।

গ-এর উত্তর:
প্রদত্ত সমীকরণ: $9x^2 - 16y^2 + 72x - 32y = 36$
বা, $9(x^2 + 8x) - 16(y^2 + 2y) = 36$
বা, $9(x + 4)^2 - 16(y + 1)^2 = 36 + 144 - 16$
বা, $9(x + 4)^2 - 16(y + 1)^2 = 164$
বা, $\frac{(x + 4)^2}{164/9} - \frac{(y + 1)^2}{164/16} = 1$ [এটি প্রমিত আকার]
এখানে $a^2 = 164/9$ এবং $b^2 = 164/16$।
উৎকেন্দ্রিকতা $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \frac{5}{4}$।
নিয়ামকের সমীকরণ: $X = \pm a/e$
বা, $x + 4 = \pm \frac{\sqrt{164}/3}{5/4} = \pm \frac{4\sqrt{164}}{15}$
$\therefore 15x + 60 \pm 8\sqrt{41} = 0$।