ক-এর উত্তর:
দেওয়া আছে একটি মূল $2 + \sqrt{-3} = 2 + i\sqrt{3}$।
যেহেতু বাস্তব সহগবিশিষ্ট সমীকরণের জটিল মূলগুলো যুগল হিসেবে থাকে,
$\therefore$ অপর মূলটি হবে $2 - i\sqrt{3}$।
মূলদ্বয়ের যোগফল $= (2 + i\sqrt{3}) + (2 - i\sqrt{3}) = 4$
মূলদ্বয়ের গুণফল $= (2 + i\sqrt{3})(2 - i\sqrt{3}) = 2^2 - (i\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7$
$\therefore$ নির্ণেয় সমীকরণ: $x^2 - (\text{মূলদ্বয়ের যোগফল})x + (\text{মূলদ্বয়ের গুণফল}) = 0$
$\implies x^2 - 4x + 7 = 0$।

খ-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, $a = 27$। $\therefore P(x) = 27x^2 - 12x + (c-2) = 0$।
ধরি, সমীকরণটির একটি মূল $\alpha$, তাহলে অপর মূলটি $\alpha^2$।
মূলদ্বয়ের যোগফল, $\alpha + \alpha^2 = -(-12)/27 = 4/9$
$\implies 9\alpha^2 + 9\alpha - 4 = 0$
$\implies 9\alpha^2 + 12\alpha - 3\alpha - 4 = 0$
$\implies 3\alpha(3\alpha + 4) - 1(3\alpha + 4) = 0$
$\implies (3\alpha + 4)(3\alpha - 1) = 0$
$\therefore \alpha = 1/3$ অথবা $\alpha = -4/3$।
মূলদ্বয়ের গুণফল, $\alpha \cdot \alpha^2 = (c-2)/27 \implies \alpha^3 = (c-2)/27$
যখন $\alpha = 1/3$ তখন, $(1/3)^3 = (c-2)/27 \implies 1/27 = (c-2)/27 \implies c-2 = 1 \implies c = 3$
যখন $\alpha = -4/3$ তখন, $(-4/3)^3 = (c-2)/27 \implies -64/27 = (c-2)/27 \implies c-2 = -64 \implies c = -62$
$\therefore c$ এর মান $3$ অথবা $-62$।

গ-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, $a = -14$ এবং $c = 1$।
$\therefore P(x) = -14x^2 - 12x + (1-2) = -14x^2 - 12x - 1$
প্রদত্ত সমীকরণ: $8x^3 + 19x + (-14x^2 - 12x - 1) = 0$
$\implies 8x^3 - 14x^2 + 7x - 1 = 0$
যেহেতু মূলগুলো গুণোত্তর প্রগমনভুক্ত, ধরি মূলত্রয় $\frac{a}{r}, a, ar$।
মূলগুলোর গুণফল, $\frac{a}{r} \cdot a \cdot ar = -(-1)/8 = 1/8$
$\implies a^3 = 1/8 \implies a = 1/2$
যেহেতু $a = 1/2$ সমীকরণের একটি মূল, সিন্থেটিক পদ্ধতিতে বা উৎপাদক বিশ্লেষণ করে পাই:
$(x - 1/2)(8x^2 - 10x + 2) = 0$
$\implies (2x - 1)(4x^2 - 5x + 1) = 0$
$\implies (2x - 1)(4x^2 - 4x - x + 1) = 0$
$\implies (2x - 1)\{4x(x - 1) - 1(x - 1)\} = 0$
$\implies (2x - 1)(4x - 1)(x - 1) = 0$
$\therefore x = 1/2, 1/4, 1$
নির্ণেয় সমাধান $x = 1, 1/2, 1/4$।