(ক) ল্যাপলাসের সমীকরণ কাকে বলে?
কোনো স্কেলার ক্ষেত্র $\phi$ এর ল্যাপলাসিয়ান শূন্য হলে, অর্থাৎ $\nabla^2\phi = 0$ হলে, সেই সমীকরণকে ল্যাপলাসের সমীকরণ বলা হয়।

(খ) বৃষ্টির ফোঁটা চলন্ত মোটর গাড়ির সামনের কাচকে ভিজায় কিন্তু পিছনের কাচকে ভিজায় না কেন? ব্যাখ্যা কর।
এটি আপেক্ষিক বেগের কারণে ঘটে। বৃষ্টির ফোঁটা খাড়া নিচের দিকে পড়ে এবং গাড়ি অণুভূমিকভাবে সামনে এগিয়ে যায়। গাড়ির সাপেক্ষে বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগ এমন এক লব্ধি দিক বরাবর কাজ করে যা গাড়ির সামনের কাচের ওপর তীর্যকভাবে আছড়ে পড়ে। ফলে সামনের কাচ ভিজে যায়। অন্যদিকে, বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগের অভিমুখ গাড়ির গতির বিপরীত দিকে হওয়ায় পিছনের কাচ বৃষ্টির সরাসরি সংস্পর্শে আসে না, তাই তা ভেজে না।

(গ) $\vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{V})$ এর মান নির্ণয় কর।
ভেক্টর ক্যালকুলাসের নিয়ম অনুযায়ী, যেকোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্লের ডাইভারজেন্স সর্বদা শূন্য।
ধরি, $\vec{V} = V_x\hat{i} + V_y\hat{j} + V_z\hat{k}$
কার্ল, $\vec{\nabla} \times \vec{V} = (\frac{\partial V_z}{\partial y} - \frac{\partial V_y}{\partial z})\hat{i} + (\frac{\partial V_x}{\partial z} - \frac{\partial V_z}{\partial x})\hat{j} + (\frac{\partial V_y}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial y})\hat{k}$

এখন এর ডাইভারজেন্স করলে:
$\vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{V}) = \frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial V_z}{\partial y} - \frac{\partial V_y}{\partial z}) + \frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial V_x}{\partial z} - \frac{\partial V_z}{\partial x}) + \frac{\partial}{\partial z}(\frac{\partial V_y}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial y})$
$= \frac{\partial^2 V_z}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 V_y}{\partial x \partial z} + \frac{\partial^2 V_x}{\partial y \partial z} - \frac{\partial^2 V_z}{\partial y \partial x} + \frac{\partial^2 V_y}{\partial z \partial x} - \frac{\partial^2 V_x}{\partial z \partial y} = 0$
নির্ণেয় মান $0$।

(ঘ) উদ্দীপকের $\phi$ এর গ্রেডিয়েন্ট এর কার্ল শূন্য হবে কি? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।
হ্যাঁ, কোনো স্কেলার ক্ষেত্রের গ্রেডিয়েন্টের কার্ল সর্বদা শূন্য হবে।
গাণিতিক বিশ্লেষণ:
গ্রেডিয়েন্ট, $\vec{\nabla}\phi = \frac{\partial\phi}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial\phi}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial\phi}{\partial z}\hat{k}$
এখন এর কার্ল, $\vec{\nabla} \times (\vec{\nabla}\phi) =
\begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\partial\phi}{\partial x} & \frac{\partial\phi}{\partial y} & \frac{\partial\phi}{\partial z}
\end{vmatrix}$
$= \hat{i}(\frac{\partial^2\phi}{\partial y \partial z} - \frac{\partial^2\phi}{\partial z \partial y}) - \hat{j}(\frac{\partial^2\phi}{\partial x \partial z} - \frac{\partial^2\phi}{\partial z \partial x}) + \hat{k}(\frac{\partial^2\phi}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2\phi}{\partial y \partial x})$
ব্যবকলনের নিয়ম অনুযায়ী, $\frac{\partial^2\phi}{\partial y \partial z} = \frac{\partial^2\phi}{\partial z \partial y}$। ফলে প্রতিটি পদ শূন্য হয়ে যায়।
$\therefore \vec{\nabla} \times (\vec{\nabla}\phi) = 0$.
সুতরাং, উদ্দীপকের $\phi$ এর গ্রেডিয়েন্ট এর কার্ল শূন্য হবে।