(ক) কার্ল কী?
একটি ভেক্টর অপারেটর $\vec{\nabla}$ এর সাথে কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের ভেক্টর গুণফলকে (Cross Product) কার্ল বলা হয়। এটি ভেক্টর ক্ষেত্রের ঘূর্ণন নির্দেশ করে।

(খ) দুটি সমমানের ভেক্টরের লব্ধি তাদের অন্তর্গত কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে—ব্যাখ্যা কর।
ধরি, দুটি সমান মানের ভেক্টর $P$ ও $Q$ (যেখানে $P = Q$) এর মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$ এবং লব্ধি $R$ প্রথম ভেক্টরের সাথে $\theta$ কোণ উৎপন্ন করে।
আমরা জানি, $\tan\theta = \frac{Q\sin\alpha}{P + Q\cos\alpha}$
যেহেতু $P = Q$, সেহেতু $\tan\theta = \frac{P\sin\alpha}{P + P\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} = \frac{2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)}{2\cos^2(\alpha/2)} = \tan(\alpha/2)$
$\therefore \theta = \alpha/2$। অর্থাৎ, লব্ধিটি ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

(গ) ভেক্টর $\vec{B}$ বরাবর ভেক্টর $\vec{A}$ এর লম্ব অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
দেওয়া আছে, $\vec{A} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ এবং $\vec{B} = \hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}$
$\vec{B}$ বরাবর $\vec{A}$ এর লম্ব অভিক্ষেপ $A\cos\theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{B}|}$
এখানে, $\vec{A} \cdot \vec{B} = (2 \times 1) + (-2 \times -3) + (2 \times 6) = 2 + 6 + 12 = 20$
এবং $|\vec{B}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{1 + 9 + 36} = \sqrt{46} \approx 6.782$
$\therefore$ লম্ব অভিক্ষেপ $= \frac{20}{6.782} \approx 2.949$
$\vec{B}$ বরাবর $\vec{A}$ এর লম্ব অভিক্ষেপ $2.949$।

(ঘ) উদ্দীপকের আলোকে $\theta_1 = \theta_2$ হওয়া সম্ভব কি-না গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।

১. $\theta_1$ নির্ণয় (A ও B এর মধ্যবর্তী কোণ):
$\cos\theta_1 = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}||\vec{B}|}$
$|\vec{A}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{12} = 3.464$
$\cos\theta_1 = \frac{20}{3.464 \times 6.782} \approx 0.8514$
$\theta_1 = \cos^{-1}(0.8514) \approx 31.64^{\circ}$

২. $\theta_2$ নির্ণয় ((A+B) ও (A-B) এর মধ্যবর্তী কোণ):
$\vec{P} = \vec{A} + \vec{B} = (2+1)\hat{i} + (-2-3)\hat{j} + (2+6)\hat{k} = 3\hat{i} - 5\hat{j} + 8\hat{k}$
$\vec{Q} = \vec{A} - \vec{B} = (2-1)\hat{i} + (-2+3)\hat{j} + (2-6)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}$
$\vec{P} \cdot \vec{Q} = (3 \times 1) + (-5 \times 1) + (8 \times -4) = 3 - 5 - 32 = -34$
$|\vec{P}| = \sqrt{3^2 + (-5)^2 + 8^2} = \sqrt{98} \approx 9.9$
$|\vec{Q}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-4)^2} = \sqrt{18} \approx 4.24$
$\cos\theta_2 = \frac{-34}{9.9 \times 4.24} \approx -0.8099$
$\theta_2 = \cos^{-1}(-0.8099) \approx 144.08^{\circ}$

গাণিতিক বিশ্লেষণ: দেখা যাচ্ছে যে, $\theta_1 \approx 31.64^{\circ}$ এবং $\theta_2 \approx 144.08^{\circ}$। যেহেতু $\theta_1 \neq \theta_2$, তাই উদ্দীপকের আলোকে কোণ দুটি সমান হওয়া সম্ভব নয়।