(ক) ডাইভারজেন্স কাকে বলে?
একটি ভেক্টর ক্ষেত্রকে স্কেলার ক্ষেত্রে রূপান্তরের একটি প্রক্রিয়া হলো ডাইভারজেন্স। কোনো ভেক্টর ফাংশন $\vec{V}$ এর সাথে নেবলা অপারেটর ($\nabla$) এর ডট গুণফলকে ডাইভারজেন্স বলে, যা ওই বিন্দুতে ফ্লাক্সের ঘনত্বের পরিবর্তন নির্দেশ করে।

(খ) বালির উপর দিয়ে হাঁটা কষ্টসাধ্য কেন? ব্যাখ্যা দাও।
হাঁটার সময় আমরা যখন পায়ের পাতা দিয়ে বালির ওপর তির্যকভাবে বল প্রয়োগ করি, তখন নিউটনের তৃতীয় সূত্রানুসারে বালিও আমাদের ওপর সমান ও বিপরীতমুখী প্রতিক্রিয়া বল প্রয়োগ করে। যেহেতু বালি আলগা এবং এর অণুগুলোর মধ্যে সংলগ্নতা কম, তাই পায়ের চাপে বালি সরে যায়। এতে প্রতিক্রিয়া বলের মান অনেক কমে যায় এবং এর অনুভূমিক উপাংশ পর্যাপ্ত না হওয়ায় সামনের দিকে এগিয়ে যাওয়া কঠিন হয়ে পড়ে। এ কারণেই বালির ওপর দিয়ে হাঁটা কষ্টসাধ্য।

(গ) রহিম কত সময়ে নদী পার হয়েছিল নির্ণয় কর।
দেওয়া আছে,
নৌকার বেগ, $u = 5 kmh^{-1}$
স্রোতের বেগ, $v = 2 kmh^{-1}$
নদীর প্রস্থ, $d = 2 km$
রহিম সরাসরি অপর পাড়ে (R বিন্দুতে) পৌঁছাল, অর্থাৎ তার লব্ধি বেগ নদীর প্রস্থ বরাবর।

ধরি, রহিম স্রোতের সাথে $\alpha$ কোণে রওনা দিয়েছিল।
যেহেতু সে সরাসরি অপর পাড়ে পৌঁছায়, তাই স্রোত বরাবর বেগের উপাংশ শূন্য হবে।
$v + u \cos \alpha = 0$
$\cos \alpha = - \frac{v}{u} = - \frac{2}{5} = -0.4$
$\alpha = \cos^{-1}(-0.4) \approx 113.58^{\circ}$

আমরা জানি, নদী পার হতে প্রয়োজনীয় সময়:
$t = \frac{d}{u \sin \alpha}$
$t = \frac{2}{5 \sin 113.58^{\circ}} = \frac{2}{5 \times 0.9165}$
$t = \frac{2}{4.5826} \approx 0.4364 \text{ hour}$
$t = 0.4364 \times 60 \approx 26.18 \text{ minutes}$
রহিম ২৬.১৮ মিনিটে নদী পার হয়েছিল।

(ঘ) উদ্দীপক অনুসারে, করিমকে বৃষ্টি থেকে রক্ষা পেতে কত কোণে ছাতা ধরতে হবে? গাণিতিকভাবে ব্যাখ্যা কর।
করিমকে বৃষ্টি থেকে বাঁচতে হলে বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগের সমান ও বিপরীত কোণে ছাতা ধরতে হবে।
দেওয়া আছে,
বৃষ্টির বেগ (উলম্বভাবে নিচের দিকে), $v_r = 10 kmh^{-1}$
করিমের নৌকার লব্ধি বেগ, $v_k = 5.3 kmh^{-1}$

করিমের সাপেক্ষে বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগ নির্ণয়ের ক্ষেত্রে করিমের বেগকে উল্টে দিতে হবে।
ধরি, উলম্ব রেখার সাথে ছাতার কোণ $\theta$।
$\tan \theta = \frac{\text{নৌকার বেগ}}{\text{বৃষ্টির বেগ}}$
$\tan \theta = \frac{v_k}{v_r}$
$\tan \theta = \frac{5.3}{10} = 0.53$
$\theta = \tan^{-1}(0.53) \approx 27.92^{\circ}$

গাণিতিক বিশ্লেষণ: উদ্দীপক অনুসারে করিম যখন $5.3 kmh^{-1}$ বেগে নৌকা চালাচ্ছে, তখন তাকে বৃষ্টির হাত থেকে রক্ষা পেতে উলম্বের সাথে প্রায় $27.92^{\circ}$ কোণে ছাতা সামনের দিকে কাত করে ধরতে হবে।