ক-এর উত্তর:
কোনো তেজস্ক্রিয় পদার্থের নমুনাভুক্ত পরমাণুগুলোর মোট আয়ু এবং মোট পরমাণুর সংখ্যার অনুপাতকে ওই পদার্থের গড় জীবন বলে।

খ-এর উত্তর:
একটি নিউক্লিয়াসের প্রকৃত ভর এর গঠনকারী প্রোটন ও নিউট্রনগুলোর আলাদা আলাদা ভরের সমষ্টির চেয়ে কিছুটা কম হয়। ভরের এই পার্থক্যকে ভরত্রুটি বলে। নিউক্লিয়াস গঠনের সময় এই হারানো ভরটি আইনস্টাইনের সমীকরণ ($E = \Delta mc^2$) অনুযায়ী শক্তিতে রূপান্তরিত হয়ে নিউক্লিয়াসকে আটকে রাখে, যাকে বন্ধন শক্তি বলা হয়।

গ-এর উত্তর:
ধরি, $B$ মৌলের অর্ধায়ু $T_B$ বছর।
উদ্দীপক অনুসারে, $A$ মৌলের অর্ধায়ু $T_A = 2T_B$।
দেওয়া আছে, $T_A + T_B = 15$
$\implies 2T_B + T_B = 15$
$\implies 3T_B = 15 \implies T_B = 5$ বছর।
$\therefore T_A = 2 \times 5 = 10$ বছর।
আমরা জানি, ক্ষয় ধ্রুবক $\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}}$
$\therefore A$ মৌলের ক্ষয় ধ্রুবক, $\lambda_A = \frac{0.693}{10}$
$\implies \lambda_A = 0.0693\ year^{-1}$
মৌল 'A' এর ক্ষয় ধ্রুবক $0.0693\ year^{-1}$।

ঘ-এর উত্তর:
কোনো তেজস্ক্রিয় পদার্থের $40\%$ ক্ষয় হওয়ার অর্থ হলো অবশিষ্ট পরমাণুর সংখ্যা $N = (100 - 40)\% = 0.6N_0$।
আমরা জানি, $N = N_0 e^{-\lambda t} \implies 0.6N_0 = N_0 e^{-\lambda t} \implies e^{\lambda t} = \frac{1}{0.6}$
$\implies \lambda t = \ln(1.667) \implies t = \frac{0.5108}{\lambda}$

$A$ মৌলের জন্য প্রয়োজনীয় সময়, $t_A = \frac{0.5108}{\lambda_A} = \frac{0.5108}{0.0693} \approx 7.37$ বছর।

$B$ মৌলের ক্ষেত্রে ক্ষয় ধ্রুবক, $\lambda_B = \frac{0.693}{T_B} = \frac{0.693}{5} = 0.1386\ year^{-1}$
$B$ মৌলের জন্য প্রয়োজনীয় সময়, $t_B = \frac{0.5108}{\lambda_B} = \frac{0.5108}{0.1386} \approx 3.68$ বছর।

মতামত: গাণিতিক বিশ্লেষণ হতে দেখা যায় যে, $A$ মৌলের $40\%$ ক্ষয় হতে $7.37$ বছর এবং $B$ মৌলের $3.68$ বছর সময় লাগে। যেহেতু দুটি মৌলের অর্ধায়ু ও ক্ষয় ধ্রুবক ভিন্ন, তাই একই সময়ে উভয় মৌলের $40\%$ ক্ষয় হওয়া সম্ভব নয়।